?

Log in

Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Recent Entries 
13th-Jan-2030 01:37 pm - [sticky post] Contents
thinking
If a man will begin with certainties, he shall end in doubts; but if he will be content to begin with doubts, he shall end in certainties. (Bacon)

Давно кругом меня о нем умолкнул слухCollapse )

Last updated on July 17, 2016
https://sites.google.com/site/shkrobius/table-of-lj-contents
24th-Sep-2016 10:08 pm - Перекись
thinking
Пишут, что произошло качественное изменение в исламском терроризме: от детонаторов на перекиси ацетона - к перекиси уротропина.
http://cen.acs.org/articles/94/i38/look-explosives-used-New-York.html

В пору моего детства ВСЕ юные химики (я таким не был, Б-же помилуй) делали перекись ацетона (ака "киса"), благо это просто (ацетон из химчистки, гидроперит, батарейный "электролит" и сода).

Бывало, что подрывались, но очень редко. Один из таких пытливых юношей (он был призером всесоюзной олимпиады по химии) поступил со мной на первый курс. Не наигравшись в школе, он в первые две недели натаскал из практикума по неорганической химии реактивов и затеял изготовлять дома перекись уротропина. Сделал он ее немало. Взрыв убил всю семью и соседей (перекрытия в хрущовке не выдержали). Он находился в другой комнате; скончался от внутренних травм через месяц.

* * *

Со мною на курсе учились еще четыре призера той же олимпиады. Один из них был мой одноклассник, В.

Химией он увлекся неожиданно после того, как семью не выпустили в 80-м году в Израиль. Его отец-физик горестно вспоминал, как в 50-х они с друзьями хвастались друг перед другом, у кого в ящике круче секретность. По отъездным делам В. познакомился со студентом, который тренировал детей для химических олимпиад. Коротая время в очередях, студент взялся его подготовить, и В. увлекся.

В. оказался к этому олимпиадно-химическому делу очень способен (он говорил мне, что после математики это было играючи - Аверроэс утверждал то же самое про медицину после философии). В 10-м классе призеров отбирали на международную олимпиаду, но узнав, что В. был отказник, его тут же выкинули. Тем не менее В. успел съездить на слет, где готовили будущих участников международных олимпиад, в т. ч. по математике. Там они с Перельманом круглые сутки играли в крестики-нолики на бесконечной доске. Перельман выигрывал; В. безуспешно пытался отыграться. Так В. укрепился в мысли, что математику надо оставить Перельману и сосредоточиться на химии.

* * *

Второй и третий призер пали жертвою преферанса, на который они быстро подсели в Москве (оба учились в моей группе). Один из них на этом деле двинулся. При всей его страсти, играл он плохо и неизменно проигрывал. Если ему было дать денег, он их тоже проигрывал. Играл он ночами в разных общежитиях; днем спал на лекциях. Ел мало, только если его привести в столовую и купить поесть; был он белее молока, и выглядел больным и несчастным. Но честный: не передергивал, не воровал (был у нас на курсе пропащий картежник, который попал в тюрьму). Он толкал на барахолке одежду, и потому носил круглый год одну клетчатую рубашку и один шерстяной костюм рыжего цвета. Дух от него стоял сильный. Однажды нас послали на субботник; там его облили цементом. Он ходил в цементном панцире несколько месяцев.

Его отчислили за хроническую неуспеваемость; со второго курса он угодил в армию.

Третий призер имел белый билет и армии не боялся. Он тоже был увлекающейся натурой; ему нужен был в жизни азарт. Преферансист он был лучше второго и так страшно не проигрывался. Потом он забросил и преферанс: им завладела другая страсть - программирование. Нам почти не давали времени на ЭВМ, и он был в вечных контрах с системщиком. Кончилось тем, что призер "хакнул" машину, и та извела рулон дефицитной бумаги, печатая пожелание системщику засунуть себе в рот то, что было деликатно обозначено как "пенисоид вращения". Обиженный системщик принес рулон в деканат, и призера исключили с третьего курса.

Четвертый призер пошел по комсомольской линии; по всем признакам он должен был стать успешным мелким функционером. Однажды он опаздывал на комсомольский сабантуй и поймал такси. Машину сбил грузовик. Погибшего провожал весь четвертый курс.

Из всех пяти только В. смог закончить университет.

* * *

Уйти от перекиси ацетона можно, но от судьбы не уйдешь.
thinking
(из комментариев)

На мой взгляд, то что хочет от детей этот плаксивый учитель математики (провести высоту в треугольнике, чтобы убедиться, что он занимает половину прямоугольника) - плохое решение, именно потому, что не развивает геометрическую интуицию.

В комментариях справедливо заметили, что трюк не помогает для пирамиды в параллелипипеде. Несколько комментаторов признались, что получить 1/3 для пирамиды могут, только применив анализ. И все хором жалуются на пространственный кретинизм. Нет, это не пространственный кретинизм. Это закономерное следствие определенного метода преподавания геометрии.

Рассуждать можно так (пусть для простоты у нас будет квадрат и куб; это неважно). Поделим квадрат диагональю. Получаем два треугольника, которые делят смежную сторону - диагональ. Две другие стороны у них одинаковы, значит они конгруентны, и каждый треугольник занимает по площади 1/2 квадрата. Сдвинем вершину треугольника по стороне. Поделим треугольник на горизонтальные полоски, параллельные основанию. Каждая полоска делит треугольник на меньший треугольник, подобный большему; коэффициент подобия - функция высоты. Поэтому длины полосок во всех треугольниках не будут меняться от сдвига. По принципу Кавальери не изменится и площадь всего треугольника. Треугольник общего положения будет занимать 1/2 прямоугольника.

Таким же рассуждением можно решить объемную задачу. Режем куб на три одинаковых пирамиды с основаниями на сторонах, их объем - 1/3 куба. Тут нарисовано как резать
http://math.stackexchange.com/a/644
Почему пирамидки одинаковы? Потому, что у них все грани одинаковы: три по методу разреза, а четвертая принадлежит каждой из двух пирамидок. Двигаем вершину пирамиды по грани куба, режем на слои параллельно основанию - и применяем принцип Кавальери. Получаем, что пирамида всегда занимает 1/3 объема. Такие разрезы можно сделать и для n-мерного куба, получив n пирамидок, т.е. общий ответ 1/n. Одно и то же незамысловатое рассуждение годится для любой размерности пространства.

Такое решение выглядит более замысловато. Но вот какая штука: после него через 20-30 лет не надо сетовать на пространственный кретинизм и хвататься за анализ. Анализ проще, спору нет. Замечательно, когда кто-то позаботился о тебе и изготовил пушку, из которой можно стрелять по воробьям; для сложных задач, однако, этой пушки уже не будет, поэтому стоит с самого начала обходиться без пушек. Если для простейшей стереометрической задачи приходится бросать геометрию и вести рассуждение в других представлениях - это признак того, что у человека с раннего возраста систематически сбивалась интуиция. Начинается это с малого: "учимся, играя" решений, которые на деле ничему не учат.

***

Почему кажется, что треугольник занимает именно 2/3, я не знаю, но то, что это будет число > 1/2 ожидаемо и, более того, верно.

Мы видим прямоугольник в перспективе - как трапецию. Делим трапецию диагональю. Нижний треугольник больше по площади верхнего, значит, так же будет для любого треугольника. С другой стороны: проведем из вершины треугольника линии, параллельные боковым сторонам. Внутренние треугольнички, образованные этими прямыми, будут равны внешним; в середине клин. На него-то треугольник и больше половины.

Если я начерчу такой чертеж и покажу вам, он подскажет глазу, что это действительно трапеция, а не перспективное изображение прямоугольника. Если я начерчу одну высоту, это будет восприниматься как сигнал, что передо мною перспективное изображение прямоугольника на какой-то плоскости; сознание послушно "доворачивает" картинку в эту плоскость. Концептуальная сложность задачи - в переходе от перспективного рисунка (как я вижу чертеж) к воображаемой плоскости, в которой четырехугольник - прямоугольник; только в ней треугольник займет ровно 1/2 площади. Проведение высоты - не столько развитие геометрической интуиции, сколько ее убийство; своего рода трюк.
20th-Sep-2016 11:41 pm - Логарифм
thinking
Mатематический плач мне посоветовали в дискусии (в комментариях): может ли ребенок в пропагандируемом автором стиле "учимся, играя" открыть логарифмы?

Я всяких детей видал, включая патентованных вундеркиндов. Таких, которые сами открыли логарифмы, я не встречал и о таких не слыхал. Я музейный экспонат: пользовался таблицами Брадиса, логарифмической линейкой, номограммами и пр. диковинками. Тогда учили пользоваться этим инвентарем как можно раньше. Естественная среда для логарифмов - анализ или пред-анализ. К тому времени, что до таких материй добирались, логарифмы уже объяснялись на уровне общей идеи и алгоритма: до появления контекста, в котором ребенок мог бы их открыть сам.

Есть, однако, смущающие моменты. Первый - я не знаю и тех детей, которые бы придумали тригонометрический простaферезис (умножение косинусов через их сложение), зная соответствующие формулы. Голова как-то не работала в эту сторону: придумывать таблицы. Когда требовалось что-то считать, я выкрадывал у отца хьюллет-паккардовский калькулятор, на котором мелькали квадратненькие красные цифры.

Даже когда идею подсовывали под нос, она не шла. Я помню, решал классе в 7-м листочек с задачей, подводящей к дробной простаферетической функции
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

...Использование простаферетической функции при вычислениях вручную позволяет резко сократить объём используемых таблиц. Так, таблица умножения чисел от 1 до 1000 должна включать 500500 значений, в то время как таблица простаферетической функции должна содержать всего 2001 значение. Таблица умножения чисел от 11 до 99 в «Четырёхзначных математических таблицах» Брадиса занимает 23 страницы, таблица же значений простаферетической функции уместилась бы на 1 странице.

Я не вижу, почему толковое дите не смогло бы само дотумкать до такой функции, но и такое дите я не видал. И после показа трюка мы все равно лезли в ненавистные таблицы Брадиса. Складывать, вычитать и искать значения функции, а потом опять вычитать занимало больше времени, чем найти произведение.

Kогда еще существовала побудительная причина, "открыть" логарифм (или нечто подобное) ребенку самому было слишком сложно; когда ребенок потенциально дозревал, было уже поздно. "Играя" с функцией ф(аб)=ф(а)+ф(б), сообразить, что с ее помощью можно составить таблицы или изготовить линейку для перемножения чисел, по-моему, непосильная задача даже для самого одаренного сегодняшнего ребенка, разве что он гений. Наоборот, кстати, тоже: изобретатель логарифмических таблиц - Непер - до конца жизни понятия не имел, что такое логарифм.

***

Сегодня И-П поведал поразительную вещь: детям не нужно открывать логарифмы; они и так их интуитивно знают. Первые несколько лет школы уходят на то, чтобы отбить это внутреннее, естественное понимание.
http://www.cs.cmu.edu/~jlbooth/sieglerbooth-cd04.pdf

...each time we are confronted with an Arabic numeral, our brain cannot but treat it as a analogical quantity and represent it mentally with decreasing precision, pretty much as a rat or chimpanzee would do. This translation from symbols to quantities imposes an important and measurable cost to the speed of our mental operations. The speed with which we compare two Arabic numerals does not depend solely on the distance between them, but also on their size. It takes much more time to decide that 9 is larger than 8 than to decide that 2 is larger than 1. For equal distance, larger numbers are more difficult to compare than smaller ones. This slowing down for large numbers is again reminiscent of the perceptual abilities of babies and animals, which are similarly affected by numerical distance and size effects. Such an astonishing parallel confirms that, starting with a symbol such as an Arabic numeral, our brain retrieves an internal representation of quantities remarkably similar to the one present in animals and young children. In fact, just as in animals, the parameter that governs the ease with which we distinguish two numbers is not so much their absolute numerical distance but their distance relative to their size. Subjectively speaking, the distance between 8 and 9 is not identical to that between 1 and 2. The "mental ruler" with which we measure numbers is not graduated with regularly spaced marks. It tends to compress larger numbers into a smaller space. Our brain represents quantities in a fashion not unlike the logarithmic scale on a slide rule, where equal space is allocated to the interval between 1 and 2, between 2 and 4, or between 4 and 8. As a result, the accuracy and speed with which calculations can be performed necessarily decreases as the numbers get larger.
https://p4mriunpat.files.wordpress.com/2011/10/the-number-sense-how-the-mind-creates-mathematics.pdf

Когда шестилетних детей просят вслепую нанести числа от 1 до 100 на числовой отрезок, они наносят их логарифмически (с очень хорошей точностью). По мере обучения, они наносят их линейно от 1 до 100 (ко второму классу), но по-прежнему логарифмически для трехзначных чисел. Лишь к шестому классу, числа от 1 до 1000 наносятся б/м линейно.

Тогда детей начинают учить логарифмам.
19th-Sep-2016 10:14 pm - Плач нематематика
thinking
Посоветовали прочитать эссе "Плач математика" (пишут, что общеизвестное, но мне ранее не попадалось).

...когда я в настроении подумать о геометрических формах — а я часто оказываюсь в таком настроении — я могу представить себе треугольник, вписанный в прямоугольник (показан треугольник с основанием на стороне прямоугольника и вершиной на противоположной стороне - Ш.) Я думаю о том, какую часть прямоугольника занимает треугольник. Примерно две трети, похоже? Тут важно понимать, что я играю. Это и есть математика: интерес, игра, развлечение собственным воображением... В случае с нашим треугольником в прямоугольнике, я вижу кое-что простое и красивое: если я разрежу прямоугольник на две части по пунктирной линии, сразу видно, что стороны треугольника рассекают каждую из частей ровно надвое. Значит, вне треугольника такая же часть прямоугольника, что и внутри, и, следовательно, площадь треугольника в точности равна половине площади прямоугольника! Вот так выглядит и ощущается математика. Это маленькое описание — пример искусства математика: он задает простые и элегантные вопросы о воображаемых объектах, а затем придумывает правильные и красивые объяснения. https://nbspace.ru/math/

Что же, теперь поплачусь в жилетку и я.

Умом я понимаю, что треугольник занимает половину прямоугольника; даже зная это, на глаз мне кажется, что треугольник занимает 2/3; знание геометрии мне в этом не помогает. Только когда я провожу высоту, пусть в воображении - только тогда, всматриваясь и рассуждая о равенстве фигур, я убеждаю себя, что треугольник действительно занимает 1/2. Как только я стираю высоту, мне опять кажется, что треугольник занимает 2/3.

Как такое может быть? Я не ошибусь подобным образом в длине: никогда не спутаю 1/2 и 2/3 пути. Простейшая задача на площадь, и я ошибаюсь - катастрофически. Почему?

На такие вопросы часто отвечают, что мы видим мир в проекции, метрическая геометрия для нас трудна, - но тут не тот случай (в параллелограмме то же самое). Я не только не знаю ответ, я даже не знаю, откуда (концептуально) он может взяться.

Скажем, можно подойти так: мозг использует некоторый алгоритм обработки изображения для оценки площади. Задача в том, чтобы найти (несовершенный) алгоритм, который будет выдавать оценку порядка 2/3 для всех вершин теугольников, далеких от углов и середин сторон прямоугольника. Такой алгоритм, однако, должен быть общим; на одном треугольнике, вписанном в прямоугольник, его не опробуешь. Я посмотрел на пабмеде, сколько существует работ по перцепции площади. Нашел несколько десятков, в основном довольно старые (что говорит о безнадежности задачи). Статей, содержащих подобные (воображенные мною) модели я нашел всего несколько. Ни одна из этих моделей не объясняет 2/3. Модели, кстати, очень примитивные, стыдно смотреть.

По-моему, тут интересная - возможно, даже местами геометрическая - задача, но ею никто не интересуется, математики в том числе. Это не тот случай, когда "простые и элегантные вопросы о воображаемых объектах" легко превратить в "правильные и красивые объяснения". Даже если они красивые - еще докажи, что правильные. О красоте, однако, пока вопрос не стоит. То, что я нашел, было безобразнее Бабы Яги.

Можно подойти иначе. (Это особенно модный и плодотворный ход рассуждения, так как думать вообще не надо. Надо дать простор воображению.)

Почему я не ошибаюсь в расстоянии? Потому, что расшибусь и убьюсь - и детушек не оставлю. А если я ошибусь в оценке площади треугольника, что от этого изменится? Да ничего. Вот если бы это было по-настоящему нужно... Например, если ставить к стенке всех ошибающихся и огнеметом их, то поколений за десять они повыведутся.

Но это на первый взгляд. А на второй: для этого нужны затравочные неошибающиеся, а где их возьмешь? Вместо неошибающихся верх возьмут злостные обманщики, выучившие элементарную геометрию, и только симулирующие неошибаемость. Но, возможно, такая интернализация геометрии и есть неошибаемость? Темные материи...

Впрочем, рассуждение можно перевернуть кверх тормашками: эволюционно предпочтительной может быть как раз ошибка. Если я делю так пирог, раз-раз, то в итоге все будут довольны. Я доволен тем, что отрезал себе любимому побольше. Тот, кому я отрезал, доволен, что получил не один кусок, а целых два! А если дело дойдет до мордобоя, можно взвесить и разойтись миром. Вероятность помереть от удара дубиной во все времена существенно превышала вероятность помереть от нехватки пирогов. Я "ошибаюсь" для мего собственного блага: поровну ли поделен пирог, дело, в конце концов, десятое, главное по черепу не получить.

Когда я в настроении думать о геометрических формах — хорошо, что я нечасто оказываюсь в таком настроении — мне лезут в голову подобные идеи; наверно, поэтому из меня никудышный математик. Развлечение собственным воображением заносит меня не туда, где красота, а черт знает куда. И если кому-то из нас плакать, так это мне - нематематику.

Ну почему - почему? - треугольник кажется мне больше половины?
18th-Sep-2016 02:57 pm - Нилыч
thinking
Завуча в 57-й школе звали очень странно - Лев Нилович Бухман.

За глаза Бухмана звали Нилычем или даже Нилом Крокодилычем - небеспричинно. У Нилыча были колючие глаза и лицо биндюжника. Большая голова сидела на маленьком, сильном теле; запомнились кисти его рук с короткими волосатыми пальцами, которые он часто сжимал в кулак; у него был сильный, резкий голос. При одном звуке этого басовитого голоса дети впадали в оцепенение. Нилыча боялись.

Бухман нередко был сердит, и причин тому было много - мы все время вляпывались в истории. Боялись его до дрожи, хотя кроме крику и вызовов родителей Бухман был безвреден. До рукоприкладства дело не доходило, чего не скажешь о нашем учителе математики, известнoм вспыльчивым нравом и страстностью натуры. Тот под горячую руку мог запросто затрещину дать; мог и пинка (видел однажды). На язвительные замечания он не скупился, и доставалось всем; мог сказать очень обидное - тем, что было вдобавок остроумное и справедливое. С моих слов вырисовывается монстр, но он был добрый и неравнодушный человек: его недостатки были продолжением его достоинств. Даже непедагогической пинок был по делу, за непростительную подлость. Вероятно, такое поведение непрофессионально, но тогда, признаться, никого не интересовало, профессионал он или нет. Это не рассматривалось как достоинство; это вообще не относилось к делу; меня, например, это не заботило. Учитель он был замечательный.

Несмотря на взбаломошность, никто его не боялся; он же трусил Нилыча и ходил при нем по струночке. И не только он. Все. Мне это представлялось так: директор школы (Лапушкина) была мягкою лапушкою; свирепый Нилыч был истинным центром школьной власти.

Нилыч преподавал историю. Учил он по учебнику с малыми отклонениями. Кукишей советской власти Нилыч в кармане не держал. Когда он болел, что бывало часто (Нилыч страдал бронхиальною астмой), историю преподавал опальный Юрий Львович из "второй и единственной" школы. У того кукишей водилoсь немеряно, но они были жидковаты; это было очевидно даже детям. Я наслышан про гуманитарное образование второшкольников, но, увы, не могу забыть Юрия Львовича, а с ним и истинное положение дел.

Нилыч не играл и не заигрывался. То, чему он нас учил, было более ценно, чем кукиши: он учил нас историческому взгляду на вещи. Нилыч был трижды прав. Когда я закончил школу, мы иногда (непростительно редко) навещали Нилыча (он тяжело болел дома); однажды он рассказал о своем прошлом.

2.

В начале 50-х Нилыч, а тогда попросту Лева, был по комсомольской путевке направлен из пединститута в женскую школу. Директором там была легендарная учительница дореволюционной закваски - Мартьянова. Был такой фильм - "Сельская учительница" с Верой Марецкой; на день учителя его обычно показывали по телику. Мои бабушка и дедушка были учителями, они его всегда смотрели.

...прототипом Веры Марецкой и главным консультантом фильма стала Екатерина Васильевна Мартьянова. С 1902 года она учительствовала в 2-классном училище на Режевском заводе (ныне город Реж в 70 километрах к северу от Екатеринбурга). Прямо за зданием училища (ныне школа № 1) течёт ручей, до революции называемый Золотым ключиком: с первой половины XIX века там намывали золото. Сразу после революции Мартьянова перебирается в Екатеринбург, где возглавляет экспериментальную школу. Об успехах этой школы узнал нарком Луначарский, и по его рекомендации Мартьянова переезжает в Москву, где около 30 лет руководит передовой гимназией. В 1940-е годы Мартьянова избирается депутатом Верховного Совета СССР, дважды награждается орденом Ленина и консультирует самый известный фильм о школе середины XX века.

После войны мой папа учился в школе для мальчиков. В старших классах он с одноклассниками после уроков ездил с Арбата на Смоленский к школе, где учились девочки. Они ждали, когда выпустят девочек. Выходила старуха-директриса, она стояла и наблюдала. Можно было церемонно подойти и предложить довести девочку до дома. Старуха оценивала кавалера; иногда она разрешала, иногда нет. Без ее согласия провожаться до дому не шлись, и уж тем более не приглашались покататься на коньках. Отцу очень хотелось проводить одну девочку. Он месяца два ходил каждый день, пока старуха не разрешила. После этого могли пригласить на школьный вальс, где пары танцевали под взором той же старухи.

Неужели это была та самая старуха в той самой школе? Так и оказалось.

Бухман поступил туда учителем в последние годы существования женской гимназии; он боготворил старуху. Посреди большевистской Москвы та вылепила по идеалам своего поколения пансион для благородных девиц. Мартьянова была обломком старой интеллигенции; держать кукиш в карманe было ниже ее достоинства.

В начале 50-х школа стала обычной. В приказном порядке гимназии должны были перевести часть мальчиков в женские школы, и наоборот. Последствия были очевидны: школы обменялись наиболее проблемными детьми. В пансион для полувоздушных созданий была направлена отборная шпана. Создалась критическая ситуация, и Мартьянова благословила разрулить ее молодому Льву Нилычу.

3.

Так вот, что это было...

Мы были курсистками, Лапушкина была Мартьяновой, а Нилыч был верным рыцарем Прекрасной Дамы, защищающий ее детей.

После крика Нилыч, отвернувшись от нас, стоял с ингалятором у окна и пшикал себе в рот, жадно хватая воздух как рыба; на него было больно смотреть. Его мучало удушье, он был почти инвалидом. Не было более неподходящей телесной упаковки для того, чем являлся его дух. Шевеление мизинца Нилыча наводило трепет на сорванцов, от него бледнела и потела арбатская шпана, а в РОНО были готовы уладить ЧП только, чтобы он туда не ходил.

Какой же я был дурак... Не Нилыча же с его инглятором они боялись...

4.

Отец говорил, что старуху дрейфили даже самые отпетые московские хулиганы. Ее дрейфило высокое начальство. Ее дрейфили родители (при этом сама мысль, что такие родители могли кого-то дрейфить, казалось смехотворной).

В старухе была сила, против которой даже Луначарский сотоварищи не устоял, не то, что какое-то вонючее РОНО.

Этой силой и держалась моя школа.
thinking
Dear ***

I'm writing to request permission to reproduce, in a forthcoming scholarly publication, the following material that you have published:

The photograph used in your livejournal blog: Верим Гауссу!
Dated 06/10/2015

The photograph is of a protester holding up a poster that says "We don't believe Churov! We believe Gauss!"
http://shkrobius.livejournal.com/529354.html

If you do not control the rights to this material, please let me know who does.

This material will be reproduced in the following work that Professor Kosuke Imai of Princeton University is writing, to be published by Princeton University Press:

Working title of book: An Introduction to Data Analysis for the Social Sciences
Anticipated date of publication: 2/1/17
Color or black and white: Color
Size of image: quarter page
Require high resolution (300 dpi) digital file? (Y)

This image may also be used for promotional purposes and in course materials distributed to those who are using the book in classes.
14th-Sep-2016 04:55 am - Теорема Пифагора
thinking
Почитав комментарии: как можно было бы естественно ввести теорему Пифагора без выхолащивания смысла.

Мы ищем формулу, выражающую длину гипотенузы c от катетов a,b в прямоугольном треугольнике. Такая задача может быть поставлена только в пространстве постоянной кривизны, т.к. иначе длины сторон меняются при передвижении треугольника. Рассмотрим сферический треугольник; плоский треугольник будем считать предельным случаем. Искомое выражение будет имеет f(c)=g(a,b)=g(b,a), где f и g - аналитические функции, периодические по a, b и c, и f(c)=g(0,c) . Сферический треугольник может иметь два прямых угла. В таком треугольнике глина гипотенузы равна длине одного катета и не зависит от длины другого, т.е. в нем g(a,c)=g(0,c) для любого а. Поэтому g(a,b) либо сумма, либо произведение f(a) и f(b). Положим для определенности f(c)=f(a)f(b). Так как длина гипотенузы не зависит от направления дуги, f(x)=1+q*x^2. Поэтому c^2=a^2+b^2 в первом порядке малости. Параметр q может зависеть только от кривизны сферы. Половину плоского квадрата можно разрезать на равные части, подобные большему треугольнику, т.е. теорема для него выполняется. Значит она выполняется для любого плоского треугольника, и q=0 для нулевой кривизны. В общем случае теорема будет верна только для бесконечно малых треугольников. *

* f(x) - косинус дуги; для гиперболической плоскости это гиперболический косинус.

ПС. Почему "уродское" доказательство? Теорема Пифагора - утверждение, эквивалентное постулату параллельных; это обстоятельство исчезает в канонических выводах, становясь неявным, т.е. из нее выбрасывается ее основное геометрическое содержание. Наивный вопрос (откуда квадраты) тоже становится понятным - это не особенность евклидовой геометрии, a следствие четности функции f(x).

Наконец, "теорем Пифагора" не одна, а две. Сам Евклид говорит не о c^2=a^2+b^2, a о равенстве площадей квадратов или других подобных фигур (штанов), построенных на сторонах. На плоскости две формулировки идентичны, но на сфере не существует подобия (площади не увеличатся в пропорвии к длинам). Гивенталь учит, что это и есть главное геометрическое содержание теоремы Пифагора
https://math.berkeley.edu/~giventh/papers/eu.pdf
По-моему, он дело говорит. Тогда имеет смысл представить теорему, чтобы все это становилось явным. Вопрос только как это сделать на минимуме средств.
11th-Sep-2016 01:53 pm - Два собеседования
thinking
1.
Не было б у нас фокстерьера, я бы никогда не попал в 57-ю школу. Мама выгуливала пса во дворе, совмещая приятное с полезным: болтовней с соседками-собачницами.

Так мама выяснила, что соседкин сын ходил в биологический класс 57-й школы; ему там нравилось. Я тогда проводил вечера за микроскопом и делал срезы что твой Пастер с Мечниковым. Я мечтал спасти человечество от какой-нибудь заразы вроде ветрянки, от которой мазали зеленкой. Мама решила, что хватит самотека и художеств; надо, чтобы из меня сделали человека. Она позвонила в школу и спросила, когда собеседование. Оказалось, в ту же неделю. Маме не пришло в голову, что в 57-й школе были не только биологические классы (соседка об этом не упомянула), а в школе не догадались, что мама этого не знает; в тот год набирали только математические классы.

Мы вышли на станции метро Кропоткинская. В весеннем воздухе вкусно пахло шоколадом: на фабрике "Красный Октябрь" делали конфеты. Я подумал: наверно, трудно учиться в школе, где пахнет конфетами...

Быстро выяснилось, что произошла глупая ошибка. Мама рассудила, что раз уж мы приехали, пусть я пойду на собеседование: хуже не будет. Мамы остались в коридоре, где они взволнованно шушукались между собою. Пока они гадали: возьмут их чада не-возьмут, - нас рассадили по партам по одному - чтобы можно было легко подсесть. Класс заполнился детьми. Дети были приличные: никто соплей пионерским галстуком не утирал.

Начали давать задачи. Мне сказали сосчитать числа от одного до ста. Подсел студент. Я ему обиженно сказал, что эту задачу Гаусс решил в шестилетнем возрасте, а мне уже тринадцать. Раз я такой умный, пусть выведу сумму квадратов. - Выводить не буду, а написать могу; если надо, можно по индукции вывести, но мне лень: я пришел на биологическое собеседование, а не на математическое. Что ж, говорит, кубов тоже можешь? Там еще проще. Можно через интегралы находить, ничего интересного в таких формулах нет. Раз тебя в кружке натаскали, пусть с тобой Полина Иосифовна разбирается. Жди, пока она освободится.

Что за кружок? А вокруг все решают. Я понял, что завалил собеседование, и расслабился. Это меня не огорчило: ведь я там был по ошибке. Прошел, наверно, час. Осталось двое: я и мой будущий одноклассник Федя. Федя пошел из 57-й прямиком в высшую школу КГБ, к слову о детях с хорошими лицами.

Наконец, ко мне подсела женщина одесской наружности. У нее были большие очки, как тогда носили; в глазах светился зоологический интерес (в этом я разбирался). Она уже нашла маму в коридоре и выпытaла у нее биографические подробности.

Ладно, говорит, ты мне скажи: нравится ли тебе математика? Если как в Куранте и Роббинсе или у Штейнагауза в Калейдоскопе, то нравится, а так нет. А задачи любишь решать? Не люблю. Хорошо, я тебе буду давать задачи, а ты говори как ты их будешь решать; говори идею, без подробностей. Она начала давать задачи одну за одной; половину я видел в книжках или они сводились к ним. Я ей про это говорил, тогда она давала другую. Когда я не знал как решить, я это тоже говорил. Напоследок она потребовала, чтобы я записал решение какой-нибудь задачи. Потом она опять ушла в коридор беседовать с мамой. Полина сказала ей то же, что она потом говорила мне в глаза и за глаза: что я разгильдяй и лодырь, а книжки читал, чтобы не напрягаться и палить из пушек по воробьям. В этом было некоторое зерно. Учителя стали гадать, что со мной делать. Меня решили взять.

Полина первым делом меня предупредила, что если я буду мешать детям заниматься, она меня выгонит. И выгоняйте, говорю: я все равно через год перейду в биологический класс. - Никуда ты не перейдешь, - отрезала она.

С Полиной спорить было бесполезно, у нее был железный характер.

2.

Выяснилось одно препятствие. В районной школе я учил французкий, а в 57-й преподавали только английский. Меня возьмут на том условии, что за лето я подготовлюсь и сдам экзамен. Мама облегченно вздохнула: я занимался с бабушкой чуть не с пеленок.

Услышав весть о моем неожиданном поступлении, отец был потрясен. Он обзвонил друзей и знакомых друзей; только тогда родители поняли, куда я попал: они не были частью физмат мира. Ладно, говорит, повезло дураку, а учителя там хороши, развесили уши; по английскому я тебя проэкзаменую сам.

Вот тут-то и разорвалась бомба.

Бабушка бегло говорила на пяти языках, но английский она учила последним: переписываться с братом так, чтоб родители письма не могли прочесть. У бабушки во всем была система (она была инженер-электрохимик и любила основательный подход). Бабушка рассудила, что в Англиях-Америках мне все равно не жить (как не довелось ей самой высунуть носа из СССР) поэтому главное - бойко переводить с листа и уметь складно писать. Английские слова, которые произносятся иначе, чем пишутся, будут мешать мне запоминать написание. Поэтому мы с ней учили "английский язык", где слова говорились как писались; только заимствованные слова из французкого читались по-французски, чтобы не сбивать произношение. Периодически родители интересовались моими достижениями, и тогда бабушка давала мне переводить с листа. За все годы они ни разу не проверяли, могу ли я говорить. Когда отец обнаружил, разразился безобразный домашний скандал. До экзамена оставалось три месяца.

Отец решил, что надо честно сдаваться. Он напросился встретиться с учительницами и потащил меня с собою. Папа рассказал им про историю моего неожиданного поступления и стал осторожно вводить их в курс моих занятий с бабушкой. Сначала они думали, что он их разыгрывает. Дина Леонидовна сказала, что хочет услышить своими ушами. Я начал читать, и обе учительницы выскочили в коридор. Оттуда раздался неприличный смех. Я продолжал бубнить. Отец показал мне заткнуться и выскочил за ними в коридор. Они пошли курить во двор. Они долго говорили, наконец, вернулись. Мы попереводили с листа, я чего-то там накропал на вольную тему. Д.Л. сказала, что сдавать экзамен через три месяца я не смогу. На это уйдет минимум год. (Д.Л. чем-то напоминала повара из "Двух капитанов": все блюда у него делились на "могилу" и "отраву". У Д.Л. наши потуги тоже всегда делились на "брэд оф сив кейбл" и Russian salad. Но тут была уже явная патология.)

Д.Л. пообещала меня год не трогать, чтобы дети не смеялись, но через год устроит экзамен без скидок. Она сдержала слово.

Мы шли к метро Кропоткинская. Был конец мая. В весеннем воздухе вкусно пахло шоколадом: через реку на фабрике "Красный Октябрь" делали конфеты. Я подумал: наверно, легко учиться в школе, где пахнет конфетами...
11th-Sep-2016 12:51 am - Колесо
thinking
1.
Несколько лет назад читал в жж дискуссию на модную ныне тему - стоит ли насиловать детей, которым в тягость учение, пифагоровыми штанами?
http://atlmrf.livejournal.com/4886.html?thread=27414#t27414

По ходу дела, обсуждался другой вопрос, который меня еще более занял: зачем нужна теорема Пифагора тому, кому она никогда по жизни не будет нужна? Скажем, лавочнику. Образованный грек, вероятно, ответил бы: геометрия нужна, чтобы продемонстрировать, что истина и красота - одно и то же. Но не всякий же грек был образованным; миллионы греческих лавочников счастливо прожили в неведении Евклида. Нет необходимости, чтобы так чувствовали и думали все, хотя в этом не было бы ничего дурного.

Никто не смог ответить на вопрос. Попадались утверждения, что преподавание математики учит строгости. Положа руку на сердце, столярное дело учит тому же; в какой-то момент об этом вспоминали, и пыл гас.

2.

Мальчиком я побывал на двух полюсах этой дискуссии; то, что пифагоровы штаны могут быть инструментом насилия я знаю наверно.

Мои родители были учеными-химиками; их отношение к математике было утилитарным: она являлась частью инструментария - как колбы. Нравилась мне геометрия или нет, ею надлежало овладеть без взаимной любви, как дворовою девкой: я должен был (а) хорошо учиться и (б) примерно решать задачи. Учился я посредственно; особенно не любил решать задачи. Это было удивительно скучное занятие. Тем более я не любил задачи со звездочкой. Такие задачи были не только скучны, но и трудны. Мир был воистину жесток, если путь в обетованную землю лежал через такие терния. Отец советовал воспитывать характер: если я хочу стать ученым, надо зубрить. Неужели я допущу моей мечте не сбыться от того, что меня тошнит от какой-то там геометрии?

Увы, ложка касторки не становится вкуснее от того, что ее дает любимая мама, знающая как лучше.

Отец чувствовал неладное; он пробовал меня заинтересовать, подсовывал книжки. Это были книжки его детства, которыми когда-то (безуспешно) пытались заинтересовать его, а других книжек он не знал. Папа был отличником и золотым медалистом, но школьная и институтская математика ему туго давалась; приходилось брать задницей. На всю жизнь ему запали в душу обидные слова школьного учителя; тот сказал, что отец пролез в отличники с дурною головой. В горькую минуту отец говорил, что это девиз всей его жизни. Теперь выяснилoсь, что и у меня дурная голова...

Так я прочитал до десятой страницы и бросил немало "занимательных" книг. Самое кошмарное воспоминание - "Занимательная геометрия" Я. И. Перельмана. Мне до сих пор кажется, что это ужасно плохая книга (при этом его же "Занимательная математика" - отличная, действительно занимательная книга, хотя совсем не учит математике). Наверно, Якову Исидоровичу не стоило писать о предмете, который ему был плохо знаком. Стопка книг лавочников о прелестях геометрии росла и покрывалась пылью.

Я уже как-то рассказывал про книгу Куранта и Роббинса,
http://ilib.mccme.ru/pdf/kurant.pdf
которая пробудила мой интерес к математике и, в частности, к геометрии. То, что мне было не понятно в школьном курсе и "занимательных" книжках неожиданно - в момент - встало на свои места.

Я тогда как все мальчишки много читал фантастики, и в память запал один рассказ про мальчика и его дедушку. Он назывался "Колесо" (The Wheel, by John Whyndham)
http://lib.ru/INOFANT/UINDEM/34-18.txt

...Все это случилось много, много лет назад. Говорят, что тогда все были добрыми, счастливыми и так далее. Но однажды дьявол пришел к одному человеку и сказал, что он может дать ему что-то такое, от чего тот станет сильнее ста человек, будет бегать быстрее ветра и летать выше птиц. "Это здорово, - решил человек, - но что за это попросишь?" Дьявол сказал, что ему ничего не нужно. И он дал этому человеку колесо. Время шло, и этот человек, играя с колесом, понял, что с его помощью можно сделать другие колеса, а потом еще другие, а потом сделать все то, что пообещал дьявол, и еще многое другое.
- А что, колесо может летать? - спросил мальчик.
- Да. Колесо может сделать все, что угодно. И оно начало убивать людей разными способами. Люди стали соединять друг с другом все больше и больше колес, так, как их научил дьявол, и они убедились, что колеса могут делать еще больше разных штук и убивать еще больше людей. И они уже не могли отказаться от колеса, потому что тогда они бы умерли с голоду. А старому дьяволу только этого и нужно было. Из-за этого колеса они все попали к нему в когти. И во всем мире не осталось ни одной вещи, которая бы не зависела от колеса, и мир становился все хуже и хуже, и старый дьявол хохотал, глядя на то, что натворили его колеса. А потом все стало совсем плохо. Я не знаю, как именно это произошло. Но мир стал таким ужасным, что немногим удалось уцелеть. Осталась только горстка людей, как после потопа.
- И все из-за этого колеса?
- Во всяком случае, не будь колеса, этого бы не произошло.


В рассказе мальчик изобретает тележку; по законам его мира, за такое злодеяние сразу сжигают на костре; хлопотливая матушка уже оповестила сельчан. Дедушка спасает мальчику жизнь, притворившись, что это он придумал колесо. Он говорит мальчику: не колесо - зло; единственное зло - страх. Ну, дедушку и сожгли.

В полдень мальчик, о котором все позабыли, с трудом оторвал глаза от поднявшегося за селом столба дыма и спрятал лицо в ладонях.
- Я запомню, дедушка, - сказал он. - Я запомню. Единственное зло - это страх. Я...


... раскрыл книгу Куранта и Роббинса на введении в проективную геометрию. Я стал читать, и неожиданно вспомнил этот рассказ. Вещи, которые я только смутно чувствовал, внезапно соединились, и яркая вспышка в сознании выставила скучнейший предмет в новом свете. Он оказался совсем не тем, что я думал.

Когда я зубрил геометрию, я не понимал теорему Пифагора; не потому, что у нее было сложное доказательство, а потому, что она сбивала меня с толку. Квадрат гипотенузы был равен сумме квадратов катетов. Из-за этого в задачах постоянно всплывали квадратные уравнения, которые надо было решать. Нас месяцами на них натаскивали, для этого мы учили алгебу. Для себя я решил так, что в этом виноваты пифагоровы штаны, которые я из-за этого невзлюбил, но не мог понять, откуда все это идет. Никто этого мне не объяснял; в занимательных геометриях это тоже не обсуждалось.

Мысль, которая меня пронзила (я до сих пор помню ощущение оглушенностью истиной) - что причиной всего было "колесо" - окружность. Всего-навсего одной окружности, в явном или неявном виде, было достаточно, чтобы возникали пифагоровы штаны и прочая чертовщина, которой меня пичкали, и которая с таким трудом шла. Все было как в рассказе: одно первоначальное колесо плодилось и размножалось, оно нахально лезло во все щели, а за ним как за нерадивою бабою Федорою бежали квадратные уравнения и радикалы. Из-за этих колес решить можно было только специально подобранные, искусственные задачи, да и те со множеством дополнительных посторений, которым надо было еще учиться месяцами. Я этого не осознавал, т.к. не мог представить альтернативу: мир без колес. Неужели это возможно?

Я прочитал раздел (он где-то в середине книжки), глотая содержимое. Да, это было возможно. Эта была странная геометрия, не похожая на школьную. Противу моих наивных ожиданий, она не оказалась проще школьной, но "непростота" того стоила, так как допускала дуальность, и я был поражен таким неожиданным свойством. Бесколесная геометрия была логичнее и изящнее, "небеснее", что ли... Я был горд собой: я выучил что-то стоящее, что не знал отец.

Захотелось узнать больше: почему колесо имело столь фатальную роль? Я пролистал книжку назад. В ней объяснялись конструкции с линейкой и циркулем, затем сжато вводились поля. Выглядело это чудно, но понимабельно. Мои подозрения и догадки были, наконец, разрешены. Колесо оказалось дьявольской штукою: оно содержало в себе обещание вырваться за пределы рациональных числел, манило потенциальной возможностью построить ЛЮБОЕ! число - но обманывало эти ожидания. В книжке рассказывалось про греков, как они дошли до такой жизни, что изобрели колесную геометрию в попытке понять иррациональное, как подобрали аксиомы, чтобы дать колесу порезвиться. Геометрия была увлекательным делом не хуже микробиологии.

3.
Я больше не печалился от того, что у меня дурная голова. Голова у меня была так себе, но дурная голова была не фамильной, а общечеловеческой проблемой.

Поняв что к чему, можно было вернуться к похереным книжкам. "Математический калейдоскоп" Штейнгауза был второй книжкой, которую я прочитал - уже другими глазами. Вот кто понимал в колесах толк. Он говорил, что утверждение про кривую интересно только тогда, когда оно уже интересно про колесо; книжка убедительно это доказывала. Например, он давал (используя зеркало) изящное проективное доказательство того, что центр окружности не может быть найден одною линейкой. Большинство утверждений содержало факты вовсе без доказательств и минимальных объяснений. Я пытался понять (безуспешно) откуда они возникали. Я до сих пор этого не знаю про некоторые из утверждений. Например: три фигуры общего положения всегда можно рассечь одной окружностью на равные площади.

Даже задачи уже не казались изобретениями садистов: вероятно, они вели в другие части математики, о которых я не подозревал, как не подозревал о бесколесной геометрии. Меня, однако, не тянуло идти в маткружки с ихними задачами со звездочкой. После прочитанного все это имело вкус картона.

Мне хотелось опять испытать озарениe.

Пифагоровы штаны кое-чему меня научили. Жизнь не сводилась к насилию или его отсутствию; как геометрия, она была не о том и не про то. Свобода была не в том, чтобы бежать насилия, но в его преодолении. Я полагал, что геометрия былa зло (и она - как инструмент насилия им действительно была), но дедушка из рассказа был прав: злом была не геометрия и даже не насилие, им был мой собственный страх.

Вот и все, что я могу сказать про теорему Пифагора для лавочников.
This page was loaded Sep 28th 2016, 6:44 pm GMT.