You are viewing shkrobius

Quizzing the Anonymous - О центрально-чудесном
November 23rd, 2013
11:34 am

[Link]

Previous Entry Add to Memories Share Next Entry
О центрально-чудесном
Пишут: F(r)=-const/r2 - такой закон замечательный, любые чудеса возможны.

А вот любопытный факт для Птолемеев из параллельных вселенных:
Для F(r)=-const/r5 существует круговая траектория, проходящая через центр приложения.
http://www.ucl.ac.uk/~ucahad0/1302_handout_6.pdf

(26 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:duchifat
Date:November 24th, 2013 03:36 am (UTC)
(Link)
Выкладки не проверял, но как-то странно. Она с бесконечной скоростью проходит центр? Непонятно, откуда в момент прохождения центра возмется нормальная (центростремительная - в смысле к центру орбиты, а не поля) компонента ускорения? Возможно, тело проходит окружность один раз, а после этого движется по прямой?

Пытаюсь представить воронку с профилем -C/r^4. Верю, что брошенный шарик может приближаться к центру по дуге окружности и разгонится до бесконечности. Непонятно, что с ним станет после прохождения центра.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 24th, 2013 04:04 am (UTC)
(Link)
Нет, будет крутиться до бесконечности. Компоненты не будет, она возникнет после пролета. Не очень жизненно, но можно представить себе "планету" в форме обруча, и небесный баскетбол ее луною...

Это идет из Principia, proposition IV, problem II, Corollary I. Ньютон искал разные центральные силы, совместимыемс круговым движением со смещенным фокусом.

В моей книжке комментариев Чандрасекара это хорошо объяснено на с. 80, но через уравнение Бинэ куда проще показать, чем геометрически, как это делает Ньютон. Там совсем простой вывод.
[User Picture]
From:duchifat
Date:November 24th, 2013 04:40 am (UTC)
(Link)
Ага, эта страница 80 есть в гугл букс.

По идее, при прохождении через центр "память" о предыдущей траектории стирается. Скорость и ускорение бесконечны и сонаправлены (а более старшие производные память не хранит). Откуда ей знать, в какую сторону дальше закругляться? Она же не помнит, откуда прилетела.

С другой стороны, момент количества движения сохраняется. Выходит, при прохождении через точку сингулярности, у вектора скорости есть бесконечная центростремительная компонента (чтобы удовлетворить з-ну сохр. мом. кол. дв.) и бесконечная же тангенциальная компонента. Причем отношение второй к первой тоже бесконечно (поскольку вектор скорости должен оставаться касательным к траектории). После прохождения центра она должна продолжать закручиваться в соотв со своим моментом количества движения.

Так что даже страшно подумать, как она себя поведет. Просто черная дыра какая-то!
[User Picture]
From:begundan
Date:November 24th, 2013 09:10 am (UTC)
(Link)
В поле 1/р2 можно представить эллиптическую орбиту с очень большим эксцентрисситетом. Тогда можно утверждать, что, в пределе, орбита практически проходит через один из фокусов. Может быть, в поле 1/р5 есть похожие орбиты, но "эллипс" при этом круглый. Другими словами, через центр орбита, конечно, проходить не может, т.к. школьную физику пока еще никто не отменял, но минимальное расстояние между орбитой и источником силы вполне может быть пренебрежимо мало по сравнению с радиусом орбиты.
[User Picture]
From:duchifat
Date:November 24th, 2013 09:27 am (UTC)
(Link)
Не совсем Вас понял. В пределе это просто тело, падающее на центр и пролетающее насквозь. Но здесь нет нарушения симметрии - траектория как была прямой, так и осталось. Ей не надо "помнить" свою кривизну.

В нашем же примере в момент, когда тело пролетает "солнце" у него бесконечная скорость. И движение совершенно одинаково, вне зависимости от радиуса кривизны орбиты. В смысле -- положение и скорость (только они важны, поскольку уравнения движения второго порядка, и дальнейшее движение однозначно определяется положением и скоростью) в этот момент одинаковы, какой бы радиус кривизны орбита бы ни имела до того. То есть информация о радиусе кривизны "стирается". Каким же образом эта потеренная информация может восстановиться после пролета центра?

Это похоже на прохождение вершины конуса (точнее, дна воронки), после которого частица может повернуть в любом направлении.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 24th, 2013 09:55 am (UTC)
(Link)
Я хотел сказать, что через центр проходить орбита не может, как вы верно и замечаете, но м.б. автор имел в виду круговую орбиту, где центр силы может лежать очень близко к орбите (но внутри ее).

[User Picture]
From:begundan
Date:November 24th, 2013 10:16 am (UTC)
(Link)
Прочел текст по ссылке. Автор не имеет в виду то, что я (с потолка, разумеется) предположил. Но понять где именно в его рассуждениях ошибка я так сходу не смогу.
[User Picture]
From:duchifat
Date:November 24th, 2013 05:12 pm (UTC)
(Link)
Там нет ошибки. Бесконечный импульс, умноженный на нулевой радиус-вектор, дает любое число. Поэтому формально закон сохранения момента импульса соблюдается. Но на деле (если попытаться воспроизвести такую систему) скорость останется очень большой, но конечной. Поэтому после прохождения центра частица будет двигаться прямо. :)

PS. С другой стороны, момент импульса должен сохраняться. Поэтому что-то в системе будет вращаться. Думаю, если такую систему реализовать на деле, тo в ней будут неидеальности (конечные размеры вместо точечных и т.п.). Эти неидеальности приведут, с одной стороны, к тому что скорость не будет бесконечной. С другой стороны - к тому что в неидеальной системе будут дополнительные степени свободы (например, ненулевой момент инерции "солнца" и "планеты"). Вот этим неоговоренным в условиях степеням свободы вращательный момент и передастся. Другими словами, думаю, после прохождения "планеты" через "солнце", оба станут вращаться вокруг своих осей, а планета полетит себе по прямой, а не по круговой траектории.

Edited at 2013-11-24 05:38 pm (UTC)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 24th, 2013 07:13 pm (UTC)
(Link)
Не думаю, что Вы правы, в том смысле, что такое непременно (!) произойдет: у этой системы, в конце концов, есть адиабатический инвариант.

О реализации: если есть массивный круглый обруч и мячик, через обруч пролетающий, то, скорее всего, возникнет 1:1 резонанс, когда обруч совершает полное вращение вокруг оси перпендикулярной эклиптике за один орбитальный период, и мячик всегда пролетает через его центр в момент, когда обруч перпендикулярен траектории. Мне не кажется очевидным, что "реальная" (неточечная) система не может быть стабильной в течениe многих периодов вращения (луна тоже когда-то будет потеряна землею; все есть вопрос времени для реальных систем).

Жизнь на такой системе была бы отличным сюжетом для фантастического рассказа.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 25th, 2013 08:44 am (UTC)
(Link)
Ошибки в вычислениях нет, но она есть в утверждении, что результат вычислений применим к физической действительности.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 25th, 2013 03:31 pm (UTC)
(Link)
И в чем же эта ошибка? Вы бы вместо общих голословных положений, подумали, как это можно было бы реализовать. Тогда можно и утверждать что-нибудь.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 25th, 2013 03:42 pm (UTC)
(Link)
А что общего и голословного во втором законе ньютона и недопустимости бесконечной скорости?
[User Picture]
From:begundan
Date:November 26th, 2013 09:22 am (UTC)
(Link)
Proposition VII, а не IV. А в обсуждении этого corollary (несколькими страницами позже, параграф 149) Ньютон честно (и разумно) пишет:
We may also observe here that the possibility of a description of a circle is not asserted, but only the law of force required in case of description of any portion of the circle. The complete description of the single circle is, in fact, impossible [...]


Так что извините, duchifat-у и мне 1, вам 0.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 26th, 2013 03:36 pm (UTC)
(Link)
Вы не предложили ни одного верного, или даже просто сколь-нибудь разумного, аргумента, почему это невозможно. Мнения дешевы и не интересны. Я указал систему с мячиком и обручем, к которой эти аргументы неприложимы, в ответ получил другое мнение. Мне это мнение безразлично. Вам нужно посчитать количество переменных и количество интегралов движения и решить, интегрируема система или нет. Если она интегрируема, то стабильная траектория найдется.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 26th, 2013 04:31 pm (UTC)
(Link)
Я не предлагал аргументов так, как все верные аргументы уже предложил до меня Духифат. Это вы почему то не отнеслись к ним с должным вниманием.

Почему невозможна периодическая замкнутая орбита, проходящая через точку приложения силы? В частности из за первого закона Ньютона. Если тело в какой либо момент находится в центре приложения, то его скорость в этот момент строго радиальна (по определению), и тангенциальной составляющей у нее нет. Для того, чтоб она появилась (первый закон) необходима тангенциальная составляющая силы, но поле по определению центральное, то-есть таковой компоненты нет. Следовательно, после прохождения центра тело продолжило бы движение по прямой.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 26th, 2013 05:25 pm (UTC)
(Link)
Если у Вас есть кольцо и мячик, это рассуждение заведомо неверно, поэтому оно не имеет отношение к существу дела. Вы хотите физической реализации; тогда надо ее рассмотреть. Т.к. невозможно себе представить пролет одного сплошного тела через другое без диссипативных потерь, естественный и простейший выбор - пролет через тор, что я Вам и предложил.

Если радиус кольца устремить к нулю, то мы получаем искомую систему, но в ней неопределен пролет через сингулярность, верно. Начнем увеличивать радиус (это уберет все сингулярности): возможно ли в такой системе устойчивое орбитальное движение? Пренебрежем деформацией мячика (мы не оговоривали строение тел). Поскольку массу мячика можно выбрать сколь угодно малой, все потери на возбуждение вращений кольца и мячика можно сделать сколь угодно малыми, т.е. изменения будут адиабатическими. Тогда мячик будет следовать круговой траектории, предсказанной уравнением Бинэ, но (с точки зрения теории возмущений) его орбита будет прецессировать, а перигелий - меняться. Если кольцо не прецессирует, то орбита будет нестабильной, т.е. кольцо должно вращаться. Будет сохранятся векторный момент, что добавляет дополнительный интеграл. Если есть специальное дополнительное условие, то система будет по-прежнему интегрируемой. Резонанс между орбитальным вращением мячика и прецессией кольца дает это дополнительное условие. Этого по-прежнему недостаточно, поскольку перигелий не только прецессирует, но и меняется, пусть сколь угодно медленно (из-за свободы выбора радиуса). У нас есть еще одна степень свободы - радиус кольца r. Возможно, но это уже надо ручками показать, выбрать его так, чтобы первая производная изменения перигелия обращалась в нуль и при конечном радиусе. Почему я думаю, что это возможно? При r->0 это возможно. Если увеличивать радиус, ясно, что в какой-то момент перигелий начнет осциллировать. Вопрос в том, лежит ли этот радиус в пертурбативном пределе. Этого я утверждать не берусь, но это не суть важно. Так или иначе в системе достаточное количество степеней свободы, чтобы гарантировать орбитальное движение сколь угодно долго. Если их зафиксировать, то это будет неверно, но то же самое можно сказать про любую систему. Ожидать от Ньютона решения подобной системы в 17-м веке было бы безумно. Если Вы спрашиваете: как можно реализовать такую ситуацию (легитимный вопрос), надо ее рассмотреть, а не повторять общие места. Даже если (допустим) кольцо и мячик не работают, могут быть другие варианты. Аргументы, запрещающие такую возможность в принципе Вы привести не можете.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 27th, 2013 10:30 am (UTC)
(Link)
1. Ни по ссылке в посте, ни у Ньютона, ни в уравнении Бине ничего похожего на ваши рассуждения не приводится, а предлагается существенно более простое замечание, а именно, что законы движения допускают в случае центральной силы 1/р5 круговую траекторию, проходящую через центр приложения. При этом не утверждается, что существует периодическая орбита, проходящая через центр, и вовсе не по причине невозможности прохождения одного материального тела через другое.

2. И Ньютон, и автор ссылке в посте, рассматривают идеализированный случай точечной "планеты" малой массы (т.е. неподвижного "солнца").

3. По существу:
Во-первых, нас не должна смущать невозможность прохождения одного физического тела через другое, т.к. нет никакой причины, по которой в центре поля должна находиться материя. Например предложеный вами же тор. Для наглядности, рассмотрим пример с тором.

Если в момент пролета через неподвижный, или вращающийся вокруг своей оси, тор вектор скорости центра массы планеты будет параллелен оси тора, то, согласно первому закону Ньютона, он будет параллелен ей и в каждый последующий момент движения. Скажите мне, какое из условий "если" вы хотите нарушить, и я покажу вам, что поле перестало быть строго центральным.

Вы пускаетесь в весьма продвинутые рассуждения, в которых мне лично потребуется немало времени (которого у меня нет), чтоб разобраться. Но в то же время вы игнорируете факты из школьного курса физики. Ну обьясните мне, откуда возьмется у планеты радиальное ускорение в центральном поле?! Я вовсе не отрицаю, что можно что-нибудь подкрутить в системе так, что планета будет двигаться по окружности через центр (добавить тел, изменить поле, корректировать траекторию планеты щелчками, пустить планету по тоннелю...), но ни тот анализ, на который вы ссылаетесь в посте, ни теорема Бине, ни Старый Айзек не утверждали того, что вы им приписываете, а именно, что в центральном поле 1/р5 существует периодическая круговая орбита, проходящая через центр поля. Нет, не существует.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 27th, 2013 01:29 pm (UTC)
(Link)
Ну обьясните мне, откуда возьмется у планеты радиальное ускорение в центральном поле?!

Разумеется, я имел в виду тангенциальное ускорение.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 27th, 2013 03:24 pm (UTC)
(Link)
Мячик не пройдет через центр обруча. Центральным это поле будет только на расстоянии в несколько диаметров обруча и все рассуждения о 2х материальных точках к большей части траектории приложимы. Школьную физику я игнорирую, потому что не знаю, как ей можно описать такую систему. Центральная сила с сингулярностью из пустоты нефизическая ситуация. Наверно, Вы думаете по аналогии с пустотелой сферой, но она не работает для этого закона.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 27th, 2013 04:11 pm (UTC)
(Link)
Центральная сила с сингулярностью из пустоты нефизическая ситуация

Можно представить две точечные массы и рассмотреть двумерное поле в плоскости, равноудаленной от этих двух точек. На ней будет центральное поле. Существует функция притяжения ф(расстояние), которая даст в этой плоскости закон притяжения 1/р5. Теперь положим, что орбита лежит в этой плоскости. Вот и пример центрального 1/р5 поля без материи в центре.

А вот кстати с пустотелой сферой интереснее. Частица войдет (уж позвольте моим частицам беспрепятсвенно проходить сквозь распределение массы) внутрь сферы не радиально, и когда она выйдет у нее останется момент вращения вокруг центра, и замкнутая, почти-круговая и почти-через-центр орбита может быть и возможна.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 28th, 2013 01:57 am (UTC)
(Link)
Придется придумывать конструкцию, которая фиксирует эти две точки, но при этом не влияет на движение пробного тела, в этом проблема.

Проблема со сферой в том, что shell theorem выполняется в трехмерном пространстве только для сил вида Аr+B/r2. Возникнет нутация, замкнутой орбиты не будет, если сферу не вращать, т.е. получится тот же обруч другим способом.
[User Picture]
From:begundan
Date:November 28th, 2013 07:09 am (UTC)
(Link)
shell theorem выполняется в трехмерном пространстве только для сил вида Аr+B/r2

Да, я не подумал об этом :).
[User Picture]
From:begundan
Date:November 24th, 2013 09:58 am (UTC)
(Link)
Это вы, кажется, эксперимент над аудиторией поставили?
[User Picture]
From:begundan
Date:November 24th, 2013 10:14 am (UTC)
(Link)
Беру свои слова обратно. Прочел текст по ссылке. Не могу сходу обьяснить, в чем суть ошибки автора - это разбираться надо -, но неправ он заведомо.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:November 24th, 2013 04:54 pm (UTC)
(Link)
Да нет там никакой ошибки, а автор - Исаак Ньютон. Этому наблюдению сотни лет.
[User Picture]
From:fslon
Date:November 24th, 2013 06:01 pm (UTC)
(Link)
с 1/r2 любые чудеса возможны, а с 1/r5 - только одно!
My Website Powered by LiveJournal.com