You are viewing shkrobius

Quizzing the Anonymous - Число е
April 24th, 2014
05:11 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Число е
Для числа пи есть красивая статистическая задача (Бюффонова игла), которая своим ответом дает 2/пи
http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Для числа е я такой задачи не знаю. Т.е. придумать ее несложно. Например, такая.

Выбираем на отрезке от 0 до 1 равномерно распределенное число х1. Затем выбираем х2. Если х2>х1, серия испытаний закончена, если нет, выбираем новое число х3. Если х3<х2 продолжаем испытания, нет - заканчиваем, и так далее. Каково математическое ожидание числа испытаний в серии? Легко показать, что это (е-1).

Однако, это жульничество: я подобрал последовательность испытаний, такую, чтобы вероятности образовывали 1/n! Понятно, что всегда можно придумать некоторое испытание под любой подобный ряд. Это не интересно.

А без этого можно? Чтобы e получилось "естественным" образом, как у Бюффона.

Tags:

(47 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 24th, 2014 10:28 pm (UTC)
(Link)
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 24th, 2014 10:30 pm (UTC)
(Link)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 24th, 2014 10:43 pm (UTC)
(Link)
Это опять ряд суммируется, только под 1/е, как в моем примере. А без этого?

Поясню: несложно и под пи придумать статистическую задачу, в которой неявно складываются ряды или умножаются произведения. Скажем, найти вероятность того, что два числа меньше N взаимно просты в пределе N стремится к бесконечности. Получите бесконечное произведение, которое сводится к гамма функции с пи. У Бюффона нет натягивания задачи под знакомый ряд. Пи получается "естественно". С е же это всегда серия испытаний и ряд. Неужели нет какого то "естественного" контекста, как для пи?
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 25th, 2014 12:25 am (UTC)
(Link)
Что естественно, а что нет, вопрос неочевидный. Для решения задачи Бюффона нужно вычислить некий интеграл. Чем интеграл лучше, чем ряд или предел произведений?
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 01:01 am (UTC)
(Link)
Тем, что возникает в чисто геометрическом контексте и тем, что хотя бы не так явно подобран под ответ.

Я приведу два примера , где е возникает естественно, без рядов или интегралов. (1) Испытания Бернулли - предельная теорема Муавра о распределении вблизи среднего. (2) Диффузия - задача об абсолютно пьяном человеке.

И в том и другом случае е возникает из-за использования формулы Стирлинга. То же самое с распределением Больцмана в статистической физике.
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 25th, 2014 01:25 am (UTC)
(Link)
можно зайти через логарифимы. Это не очень красиво, но, может, можно придумать что-нибудь посимпатичнее в таком же духе:

Пусть стороны прямоугольника имеют случайную длину и независимы. Первая сторона равномерно распределена между 0 и 1, вторая -- между 1 и некоторым числом A>1. Единственным значением A, для которого P{ площадь нашего случайного прямоугольника меньше 1} =1/A, является e, если я ничего не напутал. Коряво, да.

С другой стороны, в доказательстве предельной теоремы Пуассона, где в пределе получается выражение с экспонентой, нет рядов, а только модификация "замечательного предела" (1-1/n)^n --> 1/e.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 02:01 am (UTC)
(Link)
Коряво... Наверно, лучше задача, где логарифм менее притянут за уши, скажем, как число цифр в записи.

Помню, в школе рассказывали, что оптимальной по компактности системой исчисления для больших случайных чисел является та, чье основание х близко к е: число знаков в записи будет расти как ln(х), а используемых знаков х, те плотность информации растет как их отношение, и оно максимально для е. Из этого выводилось, что БЭСМ6 была лучшим в мире компьютером, тк работала на системе записи из -1,0,+1.
[User Picture]
From:kouzdra
Date:April 25th, 2014 03:47 am (UTC)
(Link)
Только не БЭСМ6, а Сетунь. Достоинства БЭСМ6 выводились из другого - таки одна из немногих (если не единственная) советских машин, в списке суперкомпьютеров
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 04:10 am (UTC)
(Link)
А, вот что это было...
[User Picture]
From:icamel
Date:April 25th, 2014 12:50 pm (UTC)
(Link)
А Эльбрус и ПС2000? Или ПС2000 -- это оно и есть?
[User Picture]
From:kouzdra
Date:April 25th, 2014 03:58 pm (UTC)
(Link)
ПС2000 уже не советская, а с Эльбрусом таки оно в основном теоритечески существующей машиной было. Тогда как БЭСМ6 была довольно приличной серией произведена - я лично с тремя знаком был в Ленинграде.
[User Picture]
From:don_sanches
Date:April 27th, 2014 03:55 am (UTC)
(Link)
В формуле Муавра e появляется не из формулы Стирлинга, а из логарфирования по основанию e.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 27th, 2014 04:08 am (UTC)
(Link)
Центральную теорему из формулы Стирлинга выводить самое милое дело. Даже кладезь премудрости википедия так делает
http://en.m.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%E2%80%93Laplace_theorem

В том, что там не столько е, сколько экспонента, я с Вами полностью согласен, потому и не считаю это возникновение е в статистике "естественным" в смысле поста, как пояснил в другой ветке - иначе бы и не спрашивал. Естественность там в том смысле, что без явно подобранных рядов и интегралов, как в предложенных выше примерах.
[User Picture]
From:don_sanches
Date:April 27th, 2014 06:01 am (UTC)
(Link)
Я не говорил что в доказательстве не используется формула Стирлинга, а лишь что e появляется в конечной формуле не из нее, а из логарифмирования. И потом вы спрашивали "Неужели нет какого то "естественного" контекста, как для пи?". В решении задачи Бюффона пи появляется из фомулы длины круга, число e же изначально выведено из известного предела (о предельной величине процентного дохода). Я полагаю что предел вы считаете менее естественной конструкцией чем круг, иначе я не понимаю почему в задаче Бюффона пи - естественно, а в любой задаче где присутствует предел или ряд е - не естественно.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 27th, 2014 06:30 am (UTC)
(Link)
Не надо на меня собак вешать. Не просто ряд, а ряд заранее подобранный, чтобы получить ответ. И мне предложили вероятностную задачку про !n/n! где все очень натурально выходит.
[User Picture]
From:don_sanches
Date:April 27th, 2014 07:48 am (UTC)
(Link)
ха, ну если вы считаете ряд из комбинаций более натуральным, чем ряд из испытаний, то наверное.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 27th, 2014 02:17 pm (UTC)
(Link)
На Вас не угодишь. Сами-то что предлагаете?
[User Picture]
From:don_sanches
Date:April 28th, 2014 03:43 am (UTC)
(Link)
при желании в задаче про конверты ряд с факториалами можно и из описания увидеть - задача-то простая. поэтому мне что про невесту, что про конверты - все хорошо и натурально. я не знаю ничего лучше, где е уж совсем неожиданно (как длина окружности у Буффона) вылазило бы (и сомневаюсь что есть).

Edited at 2014-04-28 03:56 am (UTC)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 28th, 2014 04:11 am (UTC)
(Link)
Жаль, что не знаете. Я тоже не знаю, приходится довольствоваться тем, что есть...
[User Picture]
From:xaxam
Date:April 25th, 2014 07:04 am (UTC)
(Link)
Интеграл лучше тем, что его можно вводить, как антидифференцирование, избегая инфинитарных конструкций. А дифференцирование, в свою очередь, как формальное отображение, удовлетворяющее правилу Лейбница (таких много) и принимающх значение 1 (константа) на тождественной функции f(x)=x (а такое уже только одно).
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 25th, 2014 12:51 pm (UTC)
(Link)
Можно так вводить, да, только когда дело дойдёт до счёта, то где-нибудь что-нибудь придётся приближать или пользоваться сходимостью каких-нибудь степенных рядов. Конкретно в задаче Бюффона надо интегрировать синус. Синус надо через ряд вводить?
[User Picture]
From:xaxam
Date:April 25th, 2014 01:06 pm (UTC)
(Link)
Конечно не через ряд ;-) Мнимая часть экспоненты.
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 25th, 2014 01:19 pm (UTC)
(Link)
А что такое экспонента в этом подходе? Неподвижная точка дифференцирования? Отправляясь от этого, наверное, не очень просто даже посчитать синус пи или, скажем, пи/4
[User Picture]
From:xaxam
Date:April 25th, 2014 01:23 pm (UTC)
(Link)
Очень просто: надо численно интегрировать уравнение y'=y над комплексными числами в направлении мнимой оси по времени ;-)
[User Picture]
From:bakhtin
Date:April 25th, 2014 01:24 pm (UTC)
(Link)
убедительно, что и говорить.
[User Picture]
From:oldthinker
Date:April 24th, 2014 11:37 pm (UTC)
(Link)
Можно получить pi бюффоновой иглой, а e из него вычислить через формулу Эйлера :-).
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 24th, 2014 11:59 pm (UTC)
(Link)
Наверно, теорема Муавра-Лапласа это одно из совсем немногих мест, где е появляется "естественно".
[User Picture]
From:imfromjasenevo
Date:April 25th, 2014 04:13 am (UTC)
(Link)
из экспериментального нормального распределения можно вытащить е, только не ясно это подобно Бюффону или нет.
Ваш КО

Edited at 2014-04-25 04:14 am (UTC)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 04:21 am (UTC)
(Link)
Это экспоненциальная функция вылезает, а не е. Чтобы е из нее получить, нужно искусственно параметры задачи подбирать, это "неестественно".
[User Picture]
From:imfromjasenevo
Date:April 25th, 2014 04:33 am (UTC)
(Link)
тогда предлагаю еще использовать пуассоновскую систему (например, флуктуации числа молекул в какой-нибудь области при сильно разреженном газе). Там уже параметры будут естественны.

Edited at 2014-04-25 04:34 am (UTC)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 04:50 am (UTC)
(Link)
Естественны они только в физическом, а не математическом смысле; это специальный случай биноминального распределения, который ничем особенно с точки зрения собственно теории вероятности не примечателен. В любом случае, мне опять потребуется специальный выбор ожидания, чтобы получилось именно 1/е, а не просто экспонента. Так можно какое угодно число получить. А я хочу именно е.
[User Picture]
From:imfromjasenevo
Date:April 25th, 2014 05:44 am (UTC)
(Link)
в случае газа можно ограничиться не выбором ожидания, а объемом датчика.
если туда в среднем влезает одна молекула из общего объема, но вероятность там обнаружить одну молекулу будет как раза 1/e.

Другое дело, что применимость распределения Пуассона основано на большом числе молекул в общем объеме, так и Бюффон это предел кидания игры в на бесконечную плоскость.
From:Alex Samylkin
Date:April 25th, 2014 06:00 am (UTC)
(Link)
Бесопрядки? http://ru.wikipedia.org/wiki/Беспорядок_(перестановка)
Число писем, которые попадут в свой конверт, если их случайно перемешать.
Ну или что вероятность того, что случайная последовательность окажется беспорядком.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 12:50 pm (UTC)
(Link)
!!!!
[User Picture]
From:kobak
Date:April 25th, 2014 04:28 pm (UTC)
(Link)
В статистике повсеместно используется т.н. bootstrap. Пусть у нас есть N чисел, по ним подсчитывается какая-то одна величина, и нужно оценить стандартную ошибку результата; процедура такая: выбираем случайным образом из наших N чисел другой набор в N чисел, допуская повторения, считаем ту же величину, и повторяем это много раз. Standard deviation по повторениям будет искомой ошибкой.

Так вот: какова вероятность, что данное число попадет в данную случайную выборку? При больших N это 1-1/e.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 05:54 pm (UTC)
(Link)
Да, это оно (я бутстрэпом никогда сам не пользовался).

А ведь это все вариации на формулу Стирлинга. А та идет из интеграла по логарифмам. Получается, не так уж хахаm загибает...
[User Picture]
From:xaxam
Date:April 25th, 2014 06:57 am (UTC)
(Link)
Вопрос не столько практический, сколько философский: как "правильно" определять числа е и пи (см. бонус-трек здесь).

Если мы начинаем с натуральных чисел и естественным образом расширяем их до поля алгебраических чисел и алгебраических функций над этим полем, то никаких трансцендентных величин на этом пути мы по определению не увидим. Единственная операция, которая заставила бы нас выйти за эти пределы - интегрирование (скажем, понимаемое как антидифференцирование, чтоб избежать работы с пределами). В этом смысле естественно появляется число 2 pi i как период функции 1/z. Ну, или если кто-нибудь хочет оставаться в вещественном мире, это интеграл 1-формы y dx по контуру x^2+y^2=1 (оба объекта определены над полем рациональных чисел, есличо).

С числом е дело примерно так же естественно: оно определяется через решения дифференциального уравнения y'=y, простейшего (и снова определённого над Q) при помощи формулы e=y(1)/y(0) верной для любого решения (единица и ноль могут быть заменены на любые рациональные числа, - мы получим тогда вместо е его какую-нибудь степень).

Решение этого "основного" дифура методом разделения переменных связывает е с числом Т=2 pi i наиболее естественным образом: Т есть период экспоненты. Это позволяет вводить пи через экспоненту (как период) или, наоборот, е через Т (или пи, что то же самое). Для этого мы рассматриваем все "хорошие" функции, преобразующие сложение в умножение, f(x+y)=f(x)*f(y) и выбираем ту из них, у которой период равен Т: это задает нам однозначно определенное число.

Физически экспоненту вводить труднее, поскольку есть масса процессов, описываемых уравнением y'=ay с постоянным а, но выбор а=1 физически неестественнен: это размерная величина (единица на время). Экспонента возникнет "физически естественно", если у нас по каким-то причинам есть "естественная" единица времени (день, год, месяц, миг, рабочий день...). В отличие от пи, которое таким "недостатком" не обладает.

Математикам легче: вложение целых чисел в вещественную ось как раз и задаёт такую "естественную" единицу времени.

Edited at 2014-04-25 07:00 am (UTC)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 01:17 pm (UTC)
(Link)
С написанным я согласен, но есть еще теория чисел, комбинаторика, и т. п. в которой е может возникать совсем другим способом.

Кажется, мне предложили то, что я искал ("естественная" задача): Если n писем положить в n различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт для очень большого n? Ответ 1-1/е.

Что до алгебраических функций и необходимости интегрирования, то с такими пройдохами как Эйлер сразу начнется мухлеж. Как он рассуждал: пусть f(x) полином с корнями х1,..., хn, тогда f(x)=(x-x1)...(x-xn). Косинус раскладывается в ряд Тейлора, т.е. это бесконечный полином; все его корни известны, т.е. cos(pi*x)=(1-(x/1)^2)(1-(x/2)^2).... Правильно ли это? Собираем с обоих сторон члены с x^2, получаем формулу для pi^2/6 как сумму обратных квадратов. Я ее проверил до 100 членов и она верная!!!
[User Picture]
From:xaxam
Date:April 25th, 2014 01:36 pm (UTC)
(Link)
Эйлер, конечно, мухлевал, но очень редко ошибался.

Воспользуюсь аналогией: сегодня строительство любого здания начинают с рытья котлована. Человек, видевший, как выглядит дом только издалека, будет удивлён: как же так, надо стремиться вверх, а вместо этого двигаются вниз.

Прораб мог бы объяснить: как показывает опыт, если с самого начала строить в высоту, то долго такое здание не простоит и особенно высоким его не построить.

Ну как же, удивляется наш наивный гость, вон же Эйлер никаких котлованов не рыл, а какие башни построил?

А Эйлер умел выбирать скальный грунт ;-)

Что же до комбинаторных задач, то они скорее являются производными от анализа. Есть такой популярнейший трюк, называется "метод производящих функций". Если есть какая-то конечная или бесконечная последовательность чисел a_1, a_2, ..., то всегда имеет смысл сорганизовать их в одну "функцию" f(x) = a_1 x+ a_2x^2+ ... (иногда берут дзета-функции, построенные по немного другому правилу). Очень часто комбинаторные манипуляции с коэффициентами сводятся к простым "аналитическим" манипуляциям с функциями (произведение, дифференцирование, дифуры и пр.), и таким образом комбинаторика получается "отраженной" в зеркале анализа (ну и наоборот, разумеется). Бином Ньютона в буквальном смысле ;-) тейлоровское разложение функции (1+x)^a содержит комбинаторно определяемые биномиальные коэффициенты.
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 04:25 pm (UTC)
(Link)
Эйлер в моей жизни сыграл роковую роль. Я из-за него математику бросил, из-за острого чувства неполноценности.

Отец из лучших побуждений мне подсунул книжку почитать Пойи, Математика и правдоподобные рассуждения. Я совершенно не помню о чем она, ничем не приглянулось. Но в середине она содержала перевод эссе Эйлера о числах разбиений, пентагональной теореме первых детских шагах этого самого метода производящих функций. По прочтении эссе я понял, что математика из меня никогда не выйдет. Это было явно за гранью моих способностей. Он там написал по шагам, как именно он пришел ко всему этому. Косинус - полином - это было детские игрушки.

Как раз на прошлой неделе с запозданием на 100 лет узнал про конвергенции в той самой Эйлеровой функции p(n) разбиений n. Оказывается в ней есть делимости на q через каждые q чисел для 5, 7, 11, начиная с какого-то n; Рамануджан открыл. Недавно показали, что они есть для любого простого числа. Сразу подумал, вот Эйлер бы порадовался; он такие штуки страсть как любил...
[User Picture]
From:eterevsky
Date:April 25th, 2014 01:31 pm (UTC)
(Link)
Возьмём случайную перестановку из N элементов. Вероятность того, что она циклическая составляет 1/e. (Если мне не изменяет память.)
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 25th, 2014 03:56 pm (UTC)
(Link)
Да, я тоже понял, что самый математически естественный ход к числу е в вероятностных задачах - это комбинаторика + формула Стирлинга.
[User Picture]
From:zlyuk
Date:April 26th, 2014 06:37 am (UTC)
(Link)
простой и глуповатый способ: интеграл {1/x} между 1 и е равен 1. отсюда можно выпилить чисто геометрическую задачу про квадратуру трапеции с гиперболической стороной. а если повращать вокруг оси х - тут и пи выявится.
[User Picture]
From:burrru
Date:April 28th, 2014 07:35 am (UTC)
(Link)
Вот тут написано про е
http://e-ponikarov.livejournal.com/425726.html?style=mine
[User Picture]
From:shkrobius
Date:April 28th, 2014 01:45 pm (UTC)
(Link)
Это точный аналог задачки, подобранной в моем посте, где неявно суммируется ряд из 1/n!
[User Picture]
From:petya_d
Date:April 28th, 2014 10:15 am (UTC)
(Link)
Этот ответ не совсем в тему, но может, Вам понравится:

"е" это ответ на вопрос "Сколько всего натуральных чисел, если учитывать автоморфизмов ("симетрий")? "
My Website Powered by LiveJournal.com