?

Log in

No account? Create an account
Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Число е 
24th-Apr-2014 05:11 pm
thinking
Для числа пи есть красивая статистическая задача (Бюффонова игла), которая своим ответом дает 2/пи
http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Для числа е я такой задачи не знаю. Т.е. придумать ее несложно. Например, такая.

Выбираем на отрезке от 0 до 1 равномерно распределенное число х1. Затем выбираем х2. Если х2>х1, серия испытаний закончена, если нет, выбираем новое число х3. Если х3<х2 продолжаем испытания, нет - заканчиваем, и так далее. Каково математическое ожидание числа испытаний в серии? Легко показать, что это (е-1).

Однако, это жульничество: я подобрал последовательность испытаний, такую, чтобы вероятности образовывали 1/n! Понятно, что всегда можно придумать некоторое испытание под любой подобный ряд. Это не интересно.

А без этого можно? Чтобы e получилось "естественным" образом, как у Бюффона.
Comments 
24th-Apr-2014 10:28 pm (UTC)
24th-Apr-2014 11:37 pm (UTC)
Можно получить pi бюффоновой иглой, а e из него вычислить через формулу Эйлера :-).
24th-Apr-2014 11:59 pm (UTC)
Наверно, теорема Муавра-Лапласа это одно из совсем немногих мест, где е появляется "естественно".
25th-Apr-2014 04:13 am (UTC)
из экспериментального нормального распределения можно вытащить е, только не ясно это подобно Бюффону или нет.
Ваш КО

Edited at 2014-04-25 04:14 am (UTC)
25th-Apr-2014 04:21 am (UTC)
Это экспоненциальная функция вылезает, а не е. Чтобы е из нее получить, нужно искусственно параметры задачи подбирать, это "неестественно".
25th-Apr-2014 06:00 am (UTC)
Бесопрядки? http://ru.wikipedia.org/wiki/Беспорядок_(перестановка)
Число писем, которые попадут в свой конверт, если их случайно перемешать.
Ну или что вероятность того, что случайная последовательность окажется беспорядком.
25th-Apr-2014 12:50 pm (UTC)
!!!!
25th-Apr-2014 06:57 am (UTC)
Вопрос не столько практический, сколько философский: как "правильно" определять числа е и пи (см. бонус-трек здесь).

Если мы начинаем с натуральных чисел и естественным образом расширяем их до поля алгебраических чисел и алгебраических функций над этим полем, то никаких трансцендентных величин на этом пути мы по определению не увидим. Единственная операция, которая заставила бы нас выйти за эти пределы - интегрирование (скажем, понимаемое как антидифференцирование, чтоб избежать работы с пределами). В этом смысле естественно появляется число 2 pi i как период функции 1/z. Ну, или если кто-нибудь хочет оставаться в вещественном мире, это интеграл 1-формы y dx по контуру x^2+y^2=1 (оба объекта определены над полем рациональных чисел, есличо).

С числом е дело примерно так же естественно: оно определяется через решения дифференциального уравнения y'=y, простейшего (и снова определённого над Q) при помощи формулы e=y(1)/y(0) верной для любого решения (единица и ноль могут быть заменены на любые рациональные числа, - мы получим тогда вместо е его какую-нибудь степень).

Решение этого "основного" дифура методом разделения переменных связывает е с числом Т=2 pi i наиболее естественным образом: Т есть период экспоненты. Это позволяет вводить пи через экспоненту (как период) или, наоборот, е через Т (или пи, что то же самое). Для этого мы рассматриваем все "хорошие" функции, преобразующие сложение в умножение, f(x+y)=f(x)*f(y) и выбираем ту из них, у которой период равен Т: это задает нам однозначно определенное число.

Физически экспоненту вводить труднее, поскольку есть масса процессов, описываемых уравнением y'=ay с постоянным а, но выбор а=1 физически неестественнен: это размерная величина (единица на время). Экспонента возникнет "физически естественно", если у нас по каким-то причинам есть "естественная" единица времени (день, год, месяц, миг, рабочий день...). В отличие от пи, которое таким "недостатком" не обладает.

Математикам легче: вложение целых чисел в вещественную ось как раз и задаёт такую "естественную" единицу времени.

Edited at 2014-04-25 07:00 am (UTC)
25th-Apr-2014 01:17 pm (UTC)
С написанным я согласен, но есть еще теория чисел, комбинаторика, и т. п. в которой е может возникать совсем другим способом.

Кажется, мне предложили то, что я искал ("естественная" задача): Если n писем положить в n различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт для очень большого n? Ответ 1-1/е.

Что до алгебраических функций и необходимости интегрирования, то с такими пройдохами как Эйлер сразу начнется мухлеж. Как он рассуждал: пусть f(x) полином с корнями х1,..., хn, тогда f(x)=(x-x1)...(x-xn). Косинус раскладывается в ряд Тейлора, т.е. это бесконечный полином; все его корни известны, т.е. cos(pi*x)=(1-(x/1)^2)(1-(x/2)^2).... Правильно ли это? Собираем с обоих сторон члены с x^2, получаем формулу для pi^2/6 как сумму обратных квадратов. Я ее проверил до 100 членов и она верная!!!
25th-Apr-2014 01:31 pm (UTC)
Возьмём случайную перестановку из N элементов. Вероятность того, что она циклическая составляет 1/e. (Если мне не изменяет память.)
25th-Apr-2014 03:56 pm (UTC)
Да, я тоже понял, что самый математически естественный ход к числу е в вероятностных задачах - это комбинаторика + формула Стирлинга.
26th-Apr-2014 06:37 am (UTC)
простой и глуповатый способ: интеграл {1/x} между 1 и е равен 1. отсюда можно выпилить чисто геометрическую задачу про квадратуру трапеции с гиперболической стороной. а если повращать вокруг оси х - тут и пи выявится.
28th-Apr-2014 07:35 am (UTC)
Вот тут написано про е
http://e-ponikarov.livejournal.com/425726.html?style=mine
28th-Apr-2014 01:45 pm (UTC)
Это точный аналог задачки, подобранной в моем посте, где неявно суммируется ряд из 1/n!
28th-Apr-2014 10:15 am (UTC)
Этот ответ не совсем в тему, но может, Вам понравится:

"е" это ответ на вопрос "Сколько всего натуральных чисел, если учитывать автоморфизмов ("симетрий")? "
This page was loaded Jan 21st 2018, 2:44 pm GMT.