?

Log in

Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Неодмуинее 
5th-Feb-2017 01:16 pm
thinking
Вчера привел в комментарии теорему Пойа о случайных блужданиях на решетках (на линейной/квадратичной любая траектория вернется к началу, на кубической - нет).
http://shkrobius.livejournal.com/604586.html?thread=11544490#t11544490
Пойа (которого "Математическое рассуждение") гулял в городском саду и заметил, что его маршрут всегда самопересекался.

Спросили, чем плоскость отличается от пространства. Я знаю, как показать схожий результат, решая диффузионное уравнение в континуальном пределе, но на ответ это не тянет. Решил утром посмотреть, есть ли более толковый ответ для дискретной задачи. Нашел статью 2013-го года. Там изящное доказательство через систему резисторов, не знал о таком. В конце статьи автор пишет

...a reader may wonder why does a walk become transient above 2 dimension and not after 4 dimension, for example. Unfortunately there is not good answer to this question. Doyle’s explanation may satisfy some readers: if we convert this problem to a continuous problem by replacing our d-dimension resistor lattice with a resistive medium filling and the try to compute the effective resistance to infinity of this medium we would get an expression similar to *** , and the cutoff for this integral if d > 2. This justification does not really answer the question. We think a more intuitive answer remains to be found for this question to satisfy readers’ curiosity. https://math.dartmouth.edu/~pw/math100w13/mare.pdf

Мой доморощенный аргумент с переходом в континуум и решением диффузионного уравнением - вариант единственного аргумента, который придумали за 100 лет - и тот не катит. Неужели невозможно дать простое объяснение, чем плоскость отличается от пространства?

***

Осенью я внезапно осознал, что не понимаю теорему Пифагора: почему в пространствах постоянной кривизны она имеет мультипликативную форму. Доказать это в каждом частном случае муторно, но не трудно. Я не понимаю, почему так ДОЛЖНО быть. Спросил человек 15 математиков, но никто ничего сказать не смог.

***

Теорема Пифагора. Плоскость и пространство. Елки-палки.
Comments 
5th-Feb-2017 07:19 pm (UTC)
не, на качественном уровне все вполне. В пространстве количество точек где можно оказаться растет как куб расстояния от центра - гораздо быстрее чем на плоскости, где квадрат. Ну вот и вполне естественно возникает эффект "точек много а я одна", вероятность оказаться в нуле (единственной точке) убывает быстрее. В какой момент там будет 0 - качественно непонятно, могло бы быть и на плоскости а могло быть и в каком-нибудь пятимерном пространстве, но в целом никакого такого резкого УДИВЛЕНИЯ теорема не вызывает.
5th-Feb-2017 07:33 pm (UTC)
Поток через границу тоже растет как r^(n-1).

Нет, я как раз был удивлен. Все же мы живем на плоскости (в некотором смысле); кажется, на первый взгляд, что убежать не проблема - мы все от чего-нибудь куда-нибудь убегали. А оказывается, по науке-то, дело не в том, чтобы убежать, а в том, чтобы остановится. Если Вы этого не сумеете, попадетесь обратно.
5th-Feb-2017 07:20 pm (UTC)
ну, не знаю..
мне кажется всё просто:

- трусики - плоскость
всё что внутри и снаружи - пространство

не?..
5th-Feb-2017 07:21 pm (UTC)
нет, разумеется "внутри" и "снаружи" описываются по разному!
но, всё же..
5th-Feb-2017 07:34 pm (UTC)
Это тесно связано с проблемой задания ориентации траектории, как мне кажется. На плоскости можно всегда сказать, поворачиваем мы против или по часовой стрелке. В пространстве этого сделать нельзя. То есть в пространстве слишком много ориентаций, поэтому можно повернуть назад, но не пересечься с прежним путём, пройдя ниже или выше.
5th-Feb-2017 07:51 pm (UTC)
Вот тоже никогда не понимал, что такое умножение на себя. Гнал мысль, разбередили. Нет, про умножение слышал, но в том числе и на себя, а вот сперва на себя, а потом уж на всех, тут нет, не встречал.
5th-Feb-2017 07:56 pm (UTC)
Представим себе точечный электрический заряд. В одномерном пространстве поле постоянно (как в обычном пространстве - поле от плоскости), в двумерном - как 1/r, далее очевидно.
Теперь напишем потенциал этого поля. В одномерном пространстве потенциал линейно растёт и в бесконечности обращается в бесконечность. В двумерном пространстве потенциал логарифмический и тоже уходит в бесконечность. А в трёхмерном и далее случаях потенциал стремится к нулю.
Может, в этом всё и дело?

Про теорему Пифагора я не понял. Что значит "ДОЛЖНО быть"? Кому оно должно?
Оно просто так есть.
А почему в теореме Пифагора - квадраты, а не кубы?

Edited at 2017-02-05 07:57 pm (UTC)
5th-Feb-2017 08:08 pm (UTC)
Может быть - только из этого рассуждения мне не ясно, каким образом. Разумеется, пространство не плоскость, а плоскость не пространство; найти 10 различий, как в детской книжке - не проблема. Все же эти различия должны прямо относиться к сл. блужданиям в оных.

***

Почему ДОЛЖНО? Хотя бы потому, что на сфере и псевдосфере это одна и та же формула, но косинус надо заменить на гиперболический косинус. Потому что с увеличением размерности косинусы продолжают перемножаться. Потому, что теорема Пифагора в евклидовом пространстве - вырождение этих косинусов, когда радиус кривизны обращается в бесконечность, и ее аддитивность следует из общей мультипликативности: можно плавно менять радиус кривизны с положительного на отрицательный; формула не изменится. Потому, что обязан быть общий аргумент, почему теорема имеет такую форму.
5th-Feb-2017 08:02 pm (UTC)
Теорема Пифагора на сфере - это про произведение косинуса катетов сферического треугольника равно косинусу гипотенузы? А разве она не получается просто из вычисления длин последовательных проекций (как и ее аналог для сфер большей размерности)?
5th-Feb-2017 08:13 pm (UTC)
Мне всегда попадалось док-во через сферическую тригонометрию. А для псевдосферы метод годится?
5th-Feb-2017 08:14 pm (UTC)
Есть вот такой интуитивный аргумент: http://mathoverflow.net/a/45174 (первый абзац).
7th-Feb-2017 05:20 pm (UTC)
Здорово! Сходимость степенного ряда - естественная граница. И рассуждение хорошее.
5th-Feb-2017 08:57 pm (UTC)
По-моему, чисто интуитивные физические соображения как раз могут объяснить этот феномен.

Ведь точки на сфере радиуса R вокруг заданной точки O будут иметь одинаковое время прохождения t через O. То есть, мы будем наблюдать спонтанный скачок давления в точке O. Что, скорее всего, будет нарушать 2-ой закон термодинамики.
5th-Feb-2017 08:58 pm (UTC)
Какая красивая опечатка названия, прямо как говорящая фамилия.

(опечатка ведь, судя по "кавдратичной" чуть ниже?)

Edited at 2017-02-05 09:01 pm (UTC)
5th-Feb-2017 11:53 pm (UTC)
А если придумать своего рода блуждание по пространству с нецелым числом размерностей? То есть, если частица смещается по x или y, то все как обычно, а если по z - то с вероятностью p частица разделяется на 2, которые все последующие смещения совершают синхронно. При p=1 это сводится к обычному блужданию по плоскости, при p=0 - к блуджанию в пространстве. А вот при каком значении p вероятность возвращения в исходную точку станет меньше 1 - было бы интересно узнать.
6th-Feb-2017 12:19 am (UTC)
В посту ссылка на работу, где рассматривается доказательство как раз в таком духе: сначала для плоскости, а потом для некоторого графа промежуточной размерности, который натягивается на кубическую решетку.
(Deleted comment)
6th-Feb-2017 05:48 am (UTC)
Как же ничем... Вон там один комментатор правильно писал - в одном группа вращений абелева, а в другом - нет. К делу это, не относится (по крайней мере, я не вижу как), но факт. Физика двумерного пространства сильно отличается от трехмерного.
6th-Feb-2017 05:58 am (UTC)
Вижу сходство с возможностью странного аттрактора в трёх измерениях но не в двух, но, конечно не понимаю, поверхностное ли это сходство, или основанное на каких-то глубинных свойствах.
6th-Feb-2017 12:13 pm (UTC)
Народнохозяйственная польза для диссоциаций против рекомбинаций это здорово.
Но понять сие глобально мудрено... бесполезно искать черную кошку в темной комнате, если комната расширяется, ибо темная энергия на стороне черной кошки :)
7th-Feb-2017 02:56 am (UTC)
И Вы про кошечек...
6th-Feb-2017 03:08 pm (UTC)
Шкробиус, а Вам самому как кажется: Ваш вопрос, он из области математического или гуманитарного знания?
7th-Feb-2017 02:57 am (UTC)
Не знаю. Знание есть знание, а уж какое оно там - дело десятое.
7th-Feb-2017 07:45 am (UTC)
По скудоумию не могу сообразить, что будет в 3-х мерной решетке с конечной высотой, если правильно понял доказательство про сопротивление (степенная зависимость количества узлов от радиуса >2,5849), то должна вести себя как 2-х мерная решетка?
Можно ли наблюдать особенности поведения в 2х измерениях, если проводить процессы в тонких пленках?
9th-Feb-2017 05:34 am (UTC)
Можно: в мембранах - Дойч как раз для них свою диффузионную теорию предлагал.
7th-Feb-2017 05:12 pm (UTC)
Бегло посмотрел комментарии, вроде такого аргумента еще нет.

Мне кажется, интуитивно, что дело в топологии.
То есть, блуждание - это одномерная линия.
Грубо говоря, на плоскости одномерная линия может ограничить область (из которой другая одномерная линия - или продолжение её самой - уже выбраться не может без пересечения). А в пространстве - не может.

Если поточнее, то для линии на плоскости состояние "сама себя пересекает" устойчиво, множество таких линий явно имеет непустую внутренность (если мы, скажем, на множестве кривых наведем разумным образом топологию), а в пространстве это состояние крайне неустойчиво, если блуждание вдруг само себя пересекло - то малейшее шевеление в любом месте (чуть не то ускорение) - и все, уже никакого пересечения.

Правда, все равно остается вопрос, почему коразмерность 1 дает гарантию самопересечения, а коразмерность 2 делает шансы на нее призрачными... но интуитивно это уже меньше удивляет.

Edited at 2017-02-07 05:12 pm (UTC)
9th-Feb-2017 05:41 am (UTC)
Нет, мне эти объяснения (другие тоже предлагали нечто в этом духе) не очень нравятся. Если требовать не пересечения, а прибытия на сферу того же радиуса, откуда был старт, то вероятность и в пространстве 1. Если на меньшего радиуса - то будет убывать к нулю как отношение радиусов. Т.е. даже "мимо" траектория не попадает. В 3-х мерном пространстве действительно трудно вернуться даже если начать сильно ослаблять критерии "возвращения". А в 2-мерном, трудно придумать такие критерии, чтобы возвращения не было. Большая разница.
7th-Feb-2017 06:38 pm (UTC)
В двухмерном пространстве лучей, распространяющихся в цилиндрическом волокне можно добиться условия нулевой дисперсии, когда лучи то расходятся, то сходятся опять. А вот в трехмерном пространстве это не возможно, для любого распределения показателя преломления, возникают винтообразные траектории, которые никогда не пересекаются. Не удивлюсь, если эта задача также сводится к теореме Пойа.
9th-Feb-2017 05:36 am (UTC)
Надо подумать: сходу не могу сказать. В принципе, может: ведь это тоже решение эллиптического уравнения в пространствах разной размерности.
10th-Feb-2017 09:45 pm (UTC)
Подумал: интересно, как различались бы языки, требующие записи на плоскости и в пространстве.
This page was loaded Feb 25th 2017, 7:01 am GMT.