June 18th, 2014

thinking

Коническое отсечение (из комментариев)

По-моему, это убийственный факт про "научное" школьное образование: детям годами повторяют, что планеты вращаются по эллиптическим орбитам (это такое сакральное знание, которое отделяет продвинутых граждан от средневековых мракобесов); при этом не считается необходимым рассказать хотя бы основные свойства эллипса, известные темным древним грекам. 

Программы школы хватает ровно на то, чтобы с трудом осилить Птолемея. Многие геометрические доказательства Ньютона разобрать на основе школьной геометрии невозможно, тк хитроумный англичанин щедро пользовался геометрией конических сечений (т.е. обычной геометрией времен Евклида и Аполлония).

У меня есть теория, почему это так. У Евклида потеряны четыре книги по коническим сечениям, и в "Элементы" они тем самым не вошли. Как их начали долдонить от сих до сих в Европе 12-го века, так и долдонят до сих пор (с переобозначениями и все более большими пропусками). Все менялось под зодиаком, но никакими силами случайно исключенное из канона ввести обратно не удалось. Ненужная заумь, смущающая молодежь.

В ближайшие пару тысячелетий перемен не будет, ясное дело.
thinking

Сложные взаимоотношения с математикой

http://shkrobius.livejournal.com/487880.html?thread=6739144#t6739144

...Кому нужны извращённые способы построения с помощью цикруля и линейки? Даже основные построения -- и те нужны примерно так же, как умножение в столбик или умение пользоваться логарифмической линейкой.

Логически продолжая эти риторические вопросы, ничто не нужно. Разучить четыре правила арифметики, остальное в институте расскажут. А фигуру, высвечивающуюся карманным фонариком на стене, называть круглою блямбою.

Никоим образом! Я говорю совсем о другом. Программа обучения строится в значительной степени на принципах консерватизма (учить тому, чему учили сто и тысячу лет назад), классовой зависти (если дворяне и капиталисты преподавали это своим детям, то чем мы хуже?) и равенства (или обучать данному предмету всех, или никого). Я предлагаю основываться на практической потребности, эффективности и специализации. Исходя из этого, для большинства школьников я бы значительно поубавил объём и строгость преподаваемой геометрии, а продвинутых попробовал бы учить математической строгости не только, а может и не столько на аксиомах Эвклида, давно утративших своё значение, а на аксиомах чисел и/или линейной алгебры, теории групп и т.д.

Единственный толк от хитрых геометрических теорем и задач -- это, так сказать, умственное развитие. Но почему бы не попробовать развивать ум на других, более полезных и, в то же время, доступных школьнику разделах математики? Вот, например, линейная алгебра бы пригодилась... Заодно и разбрались бы, как в аналитической геометрии поворачивать эти самые конические сечения. Умение диагонализировать квадратическую форму или хотя бы определить её сигнатуру, по-моему, несоизмеримо полезнее, чем умение разбираться в эллипсах с помощью классической геометрии.

Я так и не понял, в чем Вы видите смысл преподавания геометрии в принципе. Получается, ее надо оставить для тех дебилов, кто не в силах освоить линейной алгебры с вариационным исчислением. Пускай циркулем и линейкой балуются.

Я подумал над Вашим вопросом... Наверное, смысл изучения основ классической геометрии -- это полустрогий вывод из простейших аксиом (1) суммы углов треугольника, (2) свойств подобных треугольников и (3) теоремы Пифагора. Последняя нужна, чтобы обосновать формулу для расстояния в R^2 и R^3, после чего можно немного объяснить аналитическую геометрию. Вообще-то мне кажется, что линейная алгебра проще, чем доказательство, что всякие пересечения в треугольнике лежат на одной прямой. Ещё раз: я не против классической геометрии как таковой, но я против того, чтобы на неё тратили слишком много драгоценного учебного времени.

Мне остается только пожалеть, что в детстве Вам не привили любовь к математике. Вы рассматриваете ее исключительно как штопор, вся цель которого в открывании бутылок. Надо успеть поскорее, пока бутылки не кончились, а штопор должен быть как можно короче, чтобы не перерасходовать драгоценный металл. Боюсь, у нас разные представления о целях образования. У меня, например, нет намерения поставить рабсилу к штамповочному конвейеру за минимальное время.

-- Что касается детства и любви к математике, то тут Вы сильно ошибаетесь, хотя потом мои взаимоотношения с математикой были, скажем так, сложными. Роль и смысл математики как науки -- это интересный философский вопрос, но он, по-моему, не имеет прямого отношения к обсуждаемому вопросу. Вопрос в том, каково сегодня значение классической геометрии, в каком объёме её стоит преподавать в школе, и надо ли, следуя Ньютону, использовать её методы, объясняя школьникам вывод законов Кеплера из закона всемирного тяготения.

Мне кажется, что классическая геометрия, цветущая пышным цветом во времена греков, уже лет сто как превратилась в засохшую ветвь на древе математики. Аксиомы и теоремы Евклида интересны, главным образом, не сами по себе, а как первый пример аксиоматической математической теории. Классическая геометрия развивает "пространственное мышление", но и только. Как наука она кончилась. Вместо неё появилась и цветёт дифференциальная/риманова геометрия, пока не вошедшая в школьный курс. Так зачем, спрашивается, ворошить ньютоновские доказательства? Если бы Ньютон знал принцип наименьшего действия и аналитическую геометрию (может, он её и знал), то, наверное его доказательство эллиптичности орбит было бы более современным.

-- Иными словами, Вы вели речь о программе для продвинутых и очень продвинутых школьников, заметная часть которых пойдёт в науку? Но и тогда по вышеупомянутым причинам я бы не стал вспоминать старое доказательство Ньютона, а вместо этого объяснил бы принцип наименьшего действия и легко вывел бы из него уравнение радиального движения. Школьникам вполне по силам понять связь минимума/максимума функции и её критичности, а обобщение этого принципа на "функции от функций" не такое уж трудное дело. В общем, лучше объяснить первые разделы первого тома ЛиЛ, чем применять к эллипсу классическую геометрию.


* * *

Еще надо, чтобы музыке учили глухие литературоведы со сложными отношениями с нотной грамотой, дабы дети могли быстрее освоить поливание огорода, а особенно продвинутые (с помощью шестого тома Ландау и Лифшица) выпиливали лобзиком по природоведению.