January 22nd, 2017

thinking

МК

Сын начал учить физику в школе (пока только механику). Его учитель - колоритный испанец из Мадрида - предложил детям придумать и решить достаточно сложную для них задачу на их выбор - этакое мини-исследование - непременно, чтобы оно иллюстрировало какую-нибудь важную физическую идею.

Спросил сына, что он собирается решать. Говорит: задачу я еще не придумал, зато уже заранее определил (вот ведь...), каким методом буду ее решать. Каким же? Методом Монте Карло! (Программировать любит, недавно прочитал про метод). Предлагай, говорит, мне задачи под этот метод - а я уж выберу, что понравится...

***

Метод МК в физике используется широко, но, к сожалению, большей частью в статистической физике, которую он совсем не знает (термодинамику еще не проходили), а без этого все сведется к непонятным манипуляциям. Задача д.б. чисто механическая.

Спросил знакомых физиков. Вот несколько предложений:

Когда в 19-м веке в Европе и Америке начали строить силосные башни, выяснилось, что трубы зачастую лопались у основания: давление зерна не описывается гидростатикой, которую закладывали в расчеты, т.к. случайно образуются цепи, передающие стресс локально.
http://denali.phys.uniroma1.it/~puglisi/thesis/node5.html
Оказывается, задача описания силосных башен (теория Янсена конца 19-го века) лежит в основе теории гранулированных сред (ныне очень популярная область, которую я совсем не знаю). Говорят, до конца 50-х на статью основоположника было всего несколько ссылок, а сейчас их тысячи. Предложили моделировать цепи методом МК. Хорошая задача, но, увы, требует больше физики, чем просто механика. Не годится. Зато узнал много мне неизвестного про эти гранулированные среды. Похоже, там много любопытных задач, и теоретических и экспериментальных.

Другое предложение было моделировать андерсоновскую локализацию для одномерного случая (периодический потенциал с небольшим беспорядком). Не совсем МК и требует какого-то знания КМ. Сказали, что уравнение Шредингера можно объяснить за час. Можно. Понять, что именно оно означает, занимает месяцы. Только голову морочить.

Третье предложение: программировать слепого часовщика, собирающий часы
https://www.youtube.com/watch?v=mcAq9bmCeR0
Я так понял из ролика, что это призвано "доказать" биологическую эволюцию. Тоже популярное занятие. В отличие от силосных башен - малоосмысленное. Упражнение доказывает, что часовщик потенциально способен сделать часы, используя сложно организованный процесс сочетания деталей, если заранее определит этот процесс, критерии отбора и имеет необходимый набор функциональных компонент; педагогическая ценность упражнения тем самым равна нулю. Как это учит физике тем более непонятно.

Четвертое предложение - выяснить, правда ли, что человек больше промокает, если бежит под дождем. Я не понял, в чем именно заключается проблема. Похоже, в размытости понятия "промокает".
http://www.physlink.com/education/askexperts/ae212.cfm
https://assets.documentcloud.org/documents/403661/runtherain-jpg.pdf
Оказывается, этот важный вопрос недавно всесторонне осветили в Eur. J. Phys. Для идеализированной поверхности неинтересно, для реалистичной - слишком много программировать.

***

Я предложил задачу Чаплыгина, которую как-то давно упоминал в журнале.

Самолет летит с постоянной скоростью V (относительно воздуха), при этом дует ветер с постоянной скоростью W. Какая траектория за фиксированное время заметает максимальную площадь? Чтобые ее решить, нужно знать только закон сложения скоростей.

Ответ в некотором смысле очевиден (все видели, как деформируется мыльный пузырь, если подуть) - эллипс с эксцентриситетом W/V. Более удивительно другое: движение самолета подчиняется законам Кеплера
http://www.uni-magdeburg.de/ifme/zeitschrift_tm/1995_Heft4/Rimrott_Szczygielski.pdf
т.е. кинематически неотличимо от движения планеты в центральном поле тяготения. Из чего следует, что наблюдение подобной кинематики не обязательно требует законов тяготения. Можно сказать так: механическое движение минимизирует некоторый функционал (действие). Однако, возможно придумать иной функционал, исходящий из совсем других соображений, дающий тот же ответ. Как мы знаем, например, что орбита минимизирует действие, а не облетаемую площадь? И то, и другое - вариационная задача. Чем одна из них лучше другой? Какими методами можно установить, какая модель верна? Задача простая, но заставляет серьезно задуматься над ответом.

***

Простая она, впрочем, для того, кто знает вариационное исчисление. Для школьника же (вооруженного компьютером) остается генерировать случайные выпуклые многоугольники (аппроксимирующие траектории), считать время полета, сжимать или раздувать траектории так, чтобы время было равно фиксированному, и считать площадь. Многоугольники можно генерировать случайно или эволюционно. Найдя орбиту, можно сравнить движение по ней с движением планеты в поле тяготения (получив ее численным интегрированием уравнений Ньютона). Заодно можно узнать, как выводится эта орбита аналитически, благо это просто.

***

Решил сперва сам решить, как описал выше - и запнулся: сходу не смог придумать алгоритма построения случайных выпуклых многоугольников. Придумал сл. способ: генерируются случайные векторы (х,y) - наши будущие стороны - так, что сумма по x и y равна нулю. Сортируем векторы по углу в порядке возрастания; вершины многоугольника задаются кумулятивными суммами отсортированных векторов. Углы и длины сторон нужны потом для расчета времен пролета. Алгоритм требует сортировки трех массивов - можно ли обойтись без этого? Достоинство в том, что можно варьировать {x} и {y} так, чтобы пробная траектория всегда оставалась выпуклым многогранником; оптимизацию можно вести MK или генетическим алгоритмом. Я не искушен в алгоритмических хитростях - наверняка есть лучший способ. Интересно, что придумает сын.

Оказывается, есть огромное число нерешенных геометрических задач про такие случайные многоугольники.
https://books.google.com/books?id=rdDTBwAAQBAJ&pg=PA54

Так можно решить многие механические задачки вариационного типа: слепой часовщик, слепо минимизирующий функционал по траекториям, которые эволюционируют в сторону оптимума. Минимизируют - оставляем, нехай живет, а не минимизирует - выдергиваем объект из Вселенной, только его и видели... Эволюция - великая сила!

***

А у Вас нет простых механических задачек для школьника (начинающего учить физику) под метод МК - чтобы иллюстрировали интересный физический принцип/идею?
thinking

Президентская библиотека

О. ныне не у дел; теперь ему полагается президентская библиотека.

Для О. это как медом намазано: кульминация чаяний всей жизни (бедняга 8 лет скучал, изображая президента, ради долгожданного момента). Джинн выполнил все пожелания Аладдина; осталось самые мелочи: начеканить профили на монетках и поставить конную статую, порадовав голубей - и величие в памяти потомков обеспечено. Но нам - современникам - что с того?

С другой стороны: когда еще у нас будет президентская библиотека? А ведь город балансирует на грани банкротства, и спасти его может только чудо. Собственно, с надеждой на чудо (в виде бурного потока из федеральных закромов), О. у нас когда-то "открыли" и отправили на воеводство в Белый дом. Надежд этих О., впрочем, не оправдал: как город и штат были в финансовой дыре, так и остались; только хуже стало. От Трампа, понятное дело, и того не ожидается: жила он. Свои у него не допросятся, чужим же не светит ничего и подавно. Удивительно ли, что граждане упали духом. Но если от О. в президентах не было большого толка, это еще не значит, что от него - в прошедшем времени - не может быть толка в будущем. Все в мире к лучшему, если подойти к делу с огоньком и фантазией. Истинная польза от правления О. только начинается! У меня появилась продуктивная политическая идея!

Время президентских библиотек, в общем, прошло: содержательную информацию можно держать в сети - для тех немногих, кому она интересна. Желающих смотреть на побрякушки мало; сплошной убыток. Лучшая идея городских архитекторов - устроить из библиотеки theme park, где будет реконструкция внутренностей Белого дома. Хорошо, но мало. Удовольствие на любителя. Пора пересмотреть всю концепцию президентской библиотеки, вот что я скажу.

Каждый житель города получает на хранение один экземпляр документа из "библиотеки" О. на вечное хранение, и тем самым весь город становится президентской библиотекой, а его жители - библиотекарями. Местные налоги отменяются, вместо этого вводятся library fees. Заработная плата становится оплатой за хранение бесценных исторических документов, и тем самым доход каждого библиотекаря сводится к нулю. Федеральные налоги более не платятся, город становится нонпрофитом. Жизнь города законодательно изменяется, т.к. это уже не город, а президентская библиотека, и вместо существующих законов вводится Устав Президентской Библиотеки. Библиотека более не подчиняется Штату, пропади он пропадом. И все далее в таком духе. Город (пардон, президентская библиотека) может начать жизнь с чистого листа, показав дулю остальному миру.

Могут сказать - но ведь федеральное правительство будет препятствовать. Как же так - не брать с жителей налоги? Ведь это же черт знает что!

А вот и не будет! Т. быстро сообразит, что у него тоже со временем будет президентская библиотека. А потом это сообразят обитатели Нью Йорка.

И вот тогда О. действительно станет Великим Президентом.
thinking

Бунт на корабле. 6

В 57-й школе я мечтал стать Галуа.

Я был в этом желании не одинок: целое поколение матшкольников все мечтали стать Галуями. Подобного единодушия я не припомню со времен детского сада на Сиреневом бульваре: там, восседая на эмалированных горшках, мы столь же горячо и страстно хотели быть космонавтами.

***

Галуа был знаком времени. Дух его бродил по Европе, не чураясь улицы Маркса и Энгельса.

Галуа был бессмертен и вездесущ наряду с графом Монте-Кристо, Павкой Корчагиным и их детскими инкарнациями - Мальчишем-Кибальчишем, Маугли и Гаврошем. Про Галуа сочиняли беллетризированные рОманы друзья Советского Союза; можно было собрать полку биографий, написанных лучшими людьми планеты. В некоторых он смахивал на лишнего человека времен Николая Палкина, в некоторых - на задорного польского шляхтича, были французские, американские, английские, немецкие версии героя, в которых Галуа мгновенно приобретал стереотипные национальные черты. Одно это должно было настораживать, и тем не менее до поры до времени я не задавал себе естественного вопроса: почему мне столь назойливо предлагают эмулировать Галуа, а не Пифагора, Виета, Эйлера, Лагранжа или Гаусса?

Или, скажем, нарративного антагониста Галуа - Коши.

Коши при Галуа был вроде Шерхана при Маугли; Пуассон - шакал Табаки - шестерил у Шерхана под ногами. Шерхан исповедовал людоедские взгляды. Ему не зазорно было надавать горящей веткой по морде, чтоб животное знало свое место. Медведь Балу с пантерой Багирой были с Маугли одной крови; даже с удавом Каа у Маугли было много общего; с Шерханом его не объединяло ничего. С ним можно было быть человеком.

Вот кто, кстати, пострадал из-за своих взглядов и держался молодцом до конца: Шерхан-Коши. Не нужно быть Галуа, чтобы тебя с энтузиазмом гнобила братия коллег за то, что ты следуешь своей совести.
https://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy#In_exile

Более всего тут поражает перестановка ролей: Коши, которого травили с младых ногтей, не разбирая средств и не стесняясь подлости, в романтическом предании изображается ничтожным злодеем, тогда как Галуа - этакий лорд Байрон, хотя единственное ужасное, что с ним произошло в его короткой математической жизни - мягкое, по сегодняшней мерке (и справедливое) замечание Пуассона + потеря рукописи, что было нормой 19-го века и происходило со всеми (включая Коши). То, что называют теорией Галуа, к Галуа имеет касательное отношение (названо Жорданом; им же переосмыслено как теория групп). Лиувилль посмертно прочел и представил в Академии записки Галуа, не поняв, что имеет дело с "теорией Галуа".

Я читал лет десять назад интересную книжку об истории романтизации Галуа. Поучительное чтение.
https://www.amazon.com/gp/product/0674046617
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17367007

Толчок дал Софус Ли. Он был ученик Жордана. От него Ли узнал про теорию, которую Жордан называл теорией Галуа. Где-то в 1880-х годах Ли написал о рассказанной ему Жорданом теории очерк и обнаружил, что ничего не знает про Галуа, кроме того, что тот был студентом Эколь и рано умер. Он начал наводить справки, но никто не мог его просветить. Тогда Ли попросил директора Эколь выяснить, кем был Галуа, чтобы добавить к обзору биографический очерк. Тот принялся за дело; на беду он оказался пламенным республиканцем и горячим патриотом (дело было после прусско-французской войны, когда помешательство подобного рода было нередким явлением). Так возник первый романтизированный облик Маугли-Галуа. С каждым поколением к скупой информации, собранной его первым биографом, добавлялись новые воображаемые детали, пока не возник миф, где республиканский Галуа стал наделен всеми чертами его антагониста - роялиста Коши. Тот, контра, тридцать лет отказывался принести присягу реввоенсовету, как его ни били по мордасам поленом.

***

"Галуа" - своего рода миф о короле Артуре: появление сказаний об Артуре вернее всего сигнализирует отмирание рыцарского кодекса. Неважно, кем был король Артур - и был ли вообще. Бандитам с большой дороги хочется воображать себя наследниками короля Артура; у рыцарей Круглого Стола в этом нет потребности. Математическому сообществу понадобилось почти сто лет после роковой дуэли, чтобы возникла острая потребность в "Галуа", и лишь по случайности она была удовлетворена Галуа.

Мне с пылом и восторгом предлагали делать жизнь с "Галуа" лишь для того, чтобы я, упаси Б-г, не стал сам собой. Как были собою Коши, Эйлер, Гаусс, Лагранж.

Люди, которые одним своим существованием делали "Галуа" ненужным.