?

Log in

No account? Create an account
Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Я так не играю! 
14th-Apr-2014 06:47 pm
thinking
http://edge.org/response-detail/11675
Неужели принципиально невозможно доказать, что обратная последовательность десятичных цифр 2^n никогда не даст 5^m?
Comments 
15th-Apr-2014 12:28 am (UTC)
ну это какой-то стрёмный товарищ.

выдвигает статистически-пробалистическую гипотезу и потом что-то "доказывает".

в физике такое прокатит, а вот в матике -- нет. даже если шанс один на миллиард что гипотеза неверна, это не доказательство.

вспомним задачу с красками на плоскости -- пока не свели к конечному набору решений, которые уже можно было перебрать электронно, никто её решить не смог. Хотя по большому счёту в ответе были уверенны.

15th-Apr-2014 01:47 am (UTC)
Ненада. Товарищ наш, проверенный.
15th-Apr-2014 12:48 am (UTC)
чисто на правах наброса:

оригинальный автор походу не в курсе что признаки делимости зависят от основания системы.


было бы любопытно для начала порешать такую же задачу в HEX, особенно учитывая степень двойки. Или в шестеричной. Ну а в пятиричной по идее проще всего.
В пятиричной чтоб делилось на 5 надо заканчивать запись на ноль, что в обратной записи степени двойки не будет гарантированно :)

что касаемо десятиричной, то запись степени двойки всегда должна начинаться от 52, и третьей цифрой или 1, или 6. Нельзя ли такие цифры исключить каким-то другим образом, из других соображений?
То есть в степенях 5ки последние три цифры вовсе не рандомные (в десятичной записи).


15th-Apr-2014 01:52 am (UTC)
log102 иррационален => множество дробных частей log10(2n) всюду плотно => степеней двойки, десятичная запись которых начинается с 521, бесконечно много.

Edited at 2014-04-15 01:52 am (UTC)
15th-Apr-2014 01:54 am (UTC)
Я не то, что не могу ее решить, а не имею понятия, как можно взяться за такое решение.

Что до автора... что с него взять... PhD и тот не смог получить...
15th-Apr-2014 01:58 am (UTC)
Dyson did not present an argument that this statement is unprovable. He merely said that the digits of 2^n are, in a certain sense, random, and therefore the statement cannot be proved by finding some "rules" describing the sequences of digits of 2^n and 5^n. However, number theorists would probably approach this problem from a totally different angle, not by presenting a rule for the sequences of digits, but by doing something entirely different.
15th-Apr-2014 03:27 am (UTC)
I've searched and I didn't find the solution. It might be an open problem.
15th-Apr-2014 03:05 am (UTC)
Таких задач можно много придумать. Например, в записи числа пи встречается ли сто нулей подряд?
15th-Apr-2014 03:15 am (UTC)
Если в шестнадцатиричной системе, то можно решить, есть формула для вычисления любого знака.
15th-Apr-2014 05:43 am (UTC)
Не то чтобы этот факт про 2^n и 5^m принципиально не доказуем. Просто опыт показывает, что такие вот статистически очевидные, но зависящие от конкретного совпадения, гипотезы, оказываются чрезвычайно сложными. Два примера: проблема Гольдбаха и бесконечность множества простых чисел-близнецов. Ни то, ни другое пока не доказано, при том, что про поведение простых чисел известно очень много.
15th-Apr-2014 02:18 pm (UTC)
Дайсон приводит эту задачку как возможный пример неполноты. Я не понимаю, чем руководствуется такой выбор.
15th-Apr-2014 11:29 am (UTC)
I'd like to know what Dyson means when he says the sequence of digits of powers of 2 is "random". For example, it's not Martin-Löf random, because it can be written out by a short program. And it's not cryptographically random, because that program also has a small running time. What concept of randomness is he using?
15th-Apr-2014 02:21 pm (UTC)
Intuitive one. Wasn't taking the middle digits of a power the first generator of pseudorandom numbers?
15th-Apr-2014 01:40 pm (UTC)
Есть такое понятие "нормальности" (по Борелю) некоторого числа х в основании q. Это означает, что асимпотическая частота любой цифры в q-ичном разложении x существует и равна 1/q, и, более того, то же справедливо и для любого блока из k последовательных цифр - его асимптотическая частота равна 1/qk. В частности, почти всякое число с независимыми равномерно распределенными случайными цифрами явялется нормальным (по-видимому, под случайностью цифр в степенях Дайсон понимает что-то в этом роде - возможно даже с увеличенным наборов тестов на случайность).

Несмотря на наличие BBP формулы, нормальность π по основанию 16, насколько мне известно, все еще не доказана. Отсутствие блока из 100 последовательных нулей очевидным образом опровергало бы нормальность, так что я подозреваю, что ваше утверждение несколько поспешно.

Задача Дайсона все-таки не представляется идеальным кандидатом на роль того примера, о котором Дайсон говорит, и вполне вероятно, что доказательство невозможности могло бы быть получено путем, например, исследования более сложных динамических систем, чем иррациональные повороты окружности.

Кстати, что касается аддитивных задач теории чисел (по поводу которых Ландау хлестко выразился: простые числа созданы для того, чтобы их умножать, а не складывать!), буквально в последние несколько лет был достигнут существенный прогресс в решении как проблемы Гольдбаха (слабая проблема полностью решена Хельфготтом), так и проблемы простых близнецов (Чжан Итан и последующие улучшатели во главе с Тао по состоянию на сегодняшний день доказали, что существует бесконечное количество пар простых чисел с разностью не более 246).
15th-Apr-2014 02:34 pm (UTC)
Да, поспешил. Грешен.

Проблему Гольдбаха в каждом поколении решало несколько человек, какой-то прогресс был и есть. Проблему Дайсона, наверно, никто решать не будет. Разве что это заковыристое следствие какого-то очень общего утверждения...



This page was loaded Apr 24th 2018, 2:22 pm GMT.