?

Log in

No account? Create an account
Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Декабря, двадцать шестого дня 
6th-Jun-2015 06:43 pm
thinking
Посвященные рассказали мне про знаменательное событие, произошедшее 26-го декабря 2011-го года, которое практически никто не заметил. Mежду тем, в этот морозный день Семен Франкович Адлай натолкнулся на компактную формулу для периметра эллипса, которую безуспешно пытались вывести многие, включая Гаусса с Рамануджаном.
http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf

Известно представление эллиптических интегралов первого рода через арифметико-геометрическое среднее
https://en.wikipedia.org/wiki/AGM_method
С помощью такого метода можно, например, вычислить 2^n знаков числа пи за n итераций
https://www.math.ust.hk/~machiang/education/enhancement/arithmetic_geometric.pdf

Оказывается, существует нечто подобное для эллиптических интегралов второго рода. Пишет Адлай:

...Fundamental research involving Tethered Satellite Systems at the Division of Stability of Motion and Mechanics of Controlled Systems at the CCRAS has required extensive use of the elliptic functions apparatus. Two traditional approaches to studying elliptic functions (due to Jacobi and Weierstrass) were naturally united by adopting Sophus Lie’s (algebraic) methodology for solving differential equations. The two groups of (linear fractional) transformations respectively fixing the differential equations, satisfied by the Weierstrass elliptic function and the Jacobi sine function, turn out to be isomorphic with each other (both being isomorphic with the Klein four-group). An essential elliptic function for which the corresponding transformations acquire the simplest form might then be (canonically) defined. Halving values for such a function is far less cumbersome than halving the values of either Weierstrass or Jacobi elliptic functions, thus permitting, in particular, an attainment of exact values (expressed in quadratic radicals) at all eighth lattice points. Exact special values of the modular invariant at the boundary of the fundamental domain were also (most) efficiently calculated. The formidable search for an explicit inverse of the modular invariant, initiated by Abel and adamantly (yet unsuccessfully) pursued by Ramanujan, had then reached its destination on (the 212th anniversary of the Gauss discovery) May 30, 2011. Moreover, a canonical formula for halving points on elliptic curves (via efficiently inverting the doubling formula) and yielding an iterative algorithm for computing (incomplete) elliptic integrals (qualitatively revising the traditional view of the constructability of inverses for such integrals) was attained. The formula for calculating the perimeter of an ellipse, presented in this paper, turned out to be next.

По темноте и серости я пропустил четвертую годовщину первого знаменательного события неделю назад; однако, ничто не мешает нам отметить второе знаменательное событие 26-го декабря.

А говорят от космонативтики никакого проку!
Comments 
7th-Jun-2015 06:24 am (UTC)
А еще говорят, от эллиптических функций нет никакого проку! Ну, то есть, сейчас, наверно, не говорят, а в книжке Винера "Я - математик", которой зачитывался в детстве, они приводились как пример некогда процветавшей, но вымершей и скучной области математики.

Edited at 2015-06-07 06:25 am (UTC)
7th-Jun-2015 10:48 am (UTC)
до такой степени вымершая, что на казалось бы важную работу за четыре года только чуть ссылок:
https://scholar.google.co.uk/scholar?cites=7884113460444240870
7th-Jun-2015 05:23 pm (UTC)
Надо же, насколько он пальцем в небо попал. Они же тесно связаны с эллиптическими кривыми и модулярными формами. Винер, наверно, был уже старенький и пропустил Танияму-Шимуру и пр. Ничего себе вымершая область, через это теорему Ферма доказали!
7th-Jun-2015 02:49 pm (UTC)
Ну нихрена ж себе! Очень крут Семен Франкович.

7th-Jun-2015 05:24 pm (UTC)
Могуч. Есть, что в календарь вписать.
6th-May-2018 11:07 am (UTC)
Да, да ,очень крут. Вот теперь про "гайку Джанибекова" несет чушь всякую.

И с вычислением эллиптического интеграла тоже событие безусловно важное. Чтобы особенно глубоко прочувствовать его значимость надо повыбрасывать все компьютеры и математические пакеты и вернуться к вычислениям гусиным пером на бумажке

Edited at 2018-05-06 11:20 am (UTC)
This page was loaded Nov 14th 2018, 12:59 pm GMT.