?

Log in

No account? Create an account
Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Неразрешимый вопрос. 3  
24th-Aug-2018 07:26 pm
thinking
Оттого ли Земля круглая, что и капля воды в невесомости круглая?

Земля сферическая из-за того, что сила тяготения центральная, а решение предполагается однородным. Капля сферическая от того, что энергия поверхностного натяжения пропорциональна площади поверхности, а сфера минимизирует ee для фиксированного объема - разновидность изопериметрической задачи.

Совсем разные по стилю рассуждения используются для доказательства того, что сила тяготения для достаточно большого тела даст шар и для доказательства сферичности капли. Tо, что максимально симметричное тело - шар - получается в ответе к обоим задачам, кажется совпадением.

Случайно совпадение или нет? Интуитивно (мне, во всяком случае) кажется крайне сомнительным, что случайно. Вероятно, математики лучше ответят, насколько им это ясно из общих соображений - и каких.

Меня убеждает, что это не совпадение, громовское доказательство изопериметрического неравенства. Громов исходит из того, что гравитационно устойчивая форма - шар, и из этого доказывает, что шар - так же решение изопериметрической задачи. Это доказательство можно найти на стр. 548
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/blasjo526.pdf
там оно отлично изложено, и пересказывать его я не буду.

Земля круглая <=> капля круглая. ***

Так что ответ - да.


*** Oooops https://shkrobius.livejournal.com/655787.html?thread=13712299#t13712299
Comments 
25th-Aug-2018 12:20 am (UTC)
Механизмы разные, но они одинаково стремятся уравнять любые выступающие неровности. Кроме Эйфелевой башни.
25th-Aug-2018 03:20 am (UTC)
эйфелева башня - погрешность, а не неровность
25th-Aug-2018 12:48 am (UTC)
Про поверхностное натяжение я в том возрасте не знал (и вина не пил), но прочитал в каком-то фант. рассказе про "вино вытряхнутое из бутылки собралось в шар, и он колыхаясь поплыл к пульту управления". Про капли ещё постоянно упоминалось, что такую, каплевидную форму, они имеют из-за трения об воздух, а так были бы шарами. Так что я ещё в ранне-школьном возрасте принял для себя, что шар - естественная, то есть к которой стремится любая жидкость, форма (жидких тел), а о природе этого стремления не задумывался. Я даже считал шарообразность земли достаточным доказательством, её когда-то жидкого состояния, было помню непонимание с учителем географии.
Хотя, вот сейчас понимаю, что в глубине души я больше склонялся к тяготению, как причине шарообразности.
Но оно ведь, хоть и очень малО, и в капельке жидкости присутствует? Как и поверхностное натяжение у расплавленных минералов.

Edited at 2018-08-25 01:21 am (UTC)
25th-Aug-2018 01:08 am (UTC)
Земля не шар, в геометрическом смысле. Если рассматривать минимизацию поверхности или потенциальной энергии то это приведет в тупик, потому что из этого будет следовать что земля шар, а она не.

Еще довод против объяснения минимизацией поверхности это неполная ее минимизация. А с помощью неполной оптимизации поверхности, из протопланетного диска можно сделать хоть куб, хоть бублик.

Кроме того, объяснение минимизацией, ничего не объясняет, а только заметает проблему под ковер. Потому, что следующим вопросом немедленно становится вопрос, а почему поверхность минимизируется?

Мое объяснение:

Возьмем невращающуюся планету из песка. Допустим ее форма это идеальный шар + гора. Рассмотрим песчинку на склоне. Сверху на нее давит масса песка, снизу давит упругая сила песка, изнутри горы таже упругая сила. Эти три силы, складываясь образуют "расплющивающую" силу выталкивая песчинку наружу.

Если бы это был не песок, а молекулы газа, то молекула была бы выдавлена наружу и скатилась под действием силы тяжести к поверхности и планета была бы шаром.

Но, так как это песок, еще есть сила трения покоя. Если сила трения больше расплющивающей, то песчинка остается на месте. А если сверху горы досыпать песка, то песчинка выдавится и скатится.

Поэтому на планете не может быть неровностей выше определенного предела, что и делает планету округлой. А сила трения, в противовес, не дает полностью минимизировать поверхность, и не допускает шаровость.

Edited at 2018-08-25 01:41 am (UTC)
25th-Aug-2018 05:59 pm (UTC)
Земля не шар, в геометрическом смысле

Ну да, такова же и капля. Всякие там потоки воздуха и прочие. Не шар, адназначна.
25th-Aug-2018 02:04 am (UTC) - Капля воды и планета Земля сёстры?
Присоединяюсь к Вашему выводу.

Только аргумент у меня несколько иной. И в капле воды, и внутри планеты Земля молекулы стремятся занять минимальное МЕСТО по отношению к окружающему пространству. Работает давно известный классическим механикам ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ, но применяемый здесь по другому поводу. Оставлю это утверждение без подробного обоснования, но добавлю, что именно МЕСТО, поскольку объём молекулы плохо определён, и именно ДЕЙСТВИЕ (с размерностью момента импульса) как возможная метрика пространства (например, Финслерова).

Получается, что и поверхностное натяжение, и гравитация определяются одними и теми же причинами. К чему и требовалось придти (доказать :-).
25th-Aug-2018 04:41 pm (UTC) - Re: Капля воды и планета Земля сёстры?
И море, и Гомер — все движется любовью.
25th-Aug-2018 03:05 am (UTC)
Что шар это решение в обоих случаях, ясно интуитивно, без всякой математики. Так, интуитивно очевидно, что сфера является поверхностью минимальной площади. С тяготением тоже всё ясно, потому что любое отклонение от сферы приведёт к тому, что часть вещества, которая бы находилось под сферой, теперь окажется над ней, так что потенциальная энергия становится строго больше.
Для больших возмущений, конечно, поведение совершенно разное. Если капля разорвётся на две, они никак не будут взаимодействовать друг с другом. По-другому для задачи с тяготением. Имеет смысл рассмотреть изменение энергии при малых отклонениях от сферической формы, и сравнить. Не уверен, что обладаю достаточной квалификацией для этого. Интуитивно кажется, что в случае с поверхностным натяжением энергия будет возрастать медленнее, чем для гравитации. Но без решения уверенности нет.

P.S. Позорище, назвал потенциальную энергию кинетической :(

Edited at 2018-08-25 03:20 am (UTC)
25th-Aug-2018 03:10 am (UTC)
На том уровне, что вы объяснили, интуитивно хочется сделать такой же вывод, Что мне напомнило, уж извините, сочинение моего сына, которе он написал во втором классе. . Текст привожу целиком:

Еж-насекомый.

Насекомые маленькие. И еж маленький. Вот еж и насекомый.
25th-Aug-2018 08:05 pm (UTC)
A roar of welkome through the welkin
Is certain proof you'll find the Elk in;
But if you listen to the shell,
In which the Whelk is said to dwell,
And hear a roar, beyond a doubt
It indicates the Whelk is out.

25th-Aug-2018 04:29 am (UTC)
Я бы сказал, что в обоих случаях сферичность следует из (интуитивно чувствуемой) единственности глобального минимума вариационной задачи + её симметричности.

Единственность на самом деле слегка обманчива: движения евклидова пространства не сводятся к жёстким вращениям, есть ещё параллельные переносы, и параллельно перенесённая сфера - таки тоже минимум функционала (который таким образом оказывается нестрогим), но мы отметаем такую неединственность как "мнимую" и мысленно факторизуем по действию группы переносов.
25th-Aug-2018 07:49 am (UTC)
>> мысленно факторизуем по действию группы переносов.
можно разьяснить это утверждение подзабывшим что такое фактор группа?
25th-Aug-2018 05:07 am (UTC)

Локальный минимум потенциальной энергии же при фиксированной массе.

25th-Aug-2018 08:36 am (UTC)
Плюс несжимаемость.
25th-Aug-2018 05:17 am (UTC)
В ваших рассуждениях неявни содержится допущение - а то и несколько. Хотя бы - о существовании процесса приведения в состояние с наименьшей энергией (вариант - наибольшей энтропии).

Сатурн "как астрономическое тело" не сферический. И Галактика не сферическая.


Мне кажется, что на вопрос "почему" Земля сферическая возможно ответить на разных уровнях, и на каждом из этих уровней можно найти контрпримеры и контраргументы.

Edited at 2018-08-25 05:17 am (UTC)
25th-Aug-2018 06:08 am (UTC)
Из соображений симметрии - если в первом приближении нет выделенных направлений и форма не должна зависеть от направления (если она есть конечно). А это подразумевает "самую совершенную фигуру", которая во всех направлениях одинакова.

Хотя в общем оно не обязательно конечно - может например внутренняя структура влиять - как у кристаллов
25th-Aug-2018 06:08 am (UTC)
Чтоб проводить аналогию с каплей, надо знать, что земля была жидкой в момент образования. Это неочевидно
25th-Aug-2018 08:35 am (UTC)
Земля стала круглой под действием гравитации, а не поверхностного натяжения. Утверждение верно было бы и в случае Земли из песчинок, лишь было бы какое-то трение, чтобы отводить кинетическую энергию и минимизировать исключительно гравитационный потенциал.
25th-Aug-2018 07:38 am (UTC)
да что тут думать?
вопрос задан про фундаментальный уровень иерархии понятий, ответ должен быть не менее прост и очевиден: шар – наибольшее упрощение в трехмерном пространстве (один размер в полярных координатах). так же – результат максимальной балансировки.
Какая форма у чёрной дыры?
26th-Aug-2018 04:03 am (UTC)
о да, горизонт событий вращающейся черной дыры прямо иллюстрация слов "что тут думать"
25th-Aug-2018 07:52 am (UTC)
Вселенная в капле гелия - что капля воды?:)
Одна из последних работ Григория Воловика — книга «The Universe in a Helium Droplet» («Вселенная в капле гелия»), изданная в Оксфорде в 2003 году. Не успев появиться, она произвела сенсацию в научном мире: научные журналы, радиостанции многих стран комментировали это событие. «С помощью гелия Воловик также хочет внести ясность в вопрос об ускоренном расширении Вселенной», — писал журнал New Scientist.

http://www.kauppatie.fi/2004/07-2004/6.htm
25th-Aug-2018 09:23 am (UTC)
В математических утверждениях не бывает случайных совпадений - просто любое верное утверждение следует из любого другого.:)
25th-Aug-2018 10:55 am (UTC)
О, это отличное замечание!

true <=> true

Однако хочется же глубинного понимания причин!
25th-Aug-2018 10:06 am (UTC)
Просветите чайника. Разве молекулы капли не подчинаются законам притяжения?
Возможно, корректнее сказать, что гравитационные эффекты для капли пренебрежимы по сравнению с поверхностным натяжением (хотя в данном случае они "хотят" одного и того же)
26th-Aug-2018 11:38 am (UTC)
Для поверхностного натяжения достаточно того, что сфера минимальна по площади, а для гравитации важнее, что сфера минимальна по потенциальной энергии массы в поле этой самой гравитации.
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
This page was loaded Nov 19th 2019, 5:47 pm GMT.