?

Log in

No account? Create an account
Quizzing the Anonymous
Ignoramus et ignorabimus
Неразрешимый вопрос. 6 
29th-Aug-2018 12:42 am
thinking
Вопрос о шаре-капли и шаре-планете я украл у Пойя.

По первому чтению книжка мне не очень понравилась: было немало перекрытий с Курантом-Роббинсом. Но было место, где щелкнуло в голове, и это была кака раз изопериметрическая задача. Там она решается стандартно (штейнеровской симметризацией), и меня убило не доказательство, а то, что ему предшествовало.

Пойя писал, что обилие круглых предметов вокруг, включая пузыри и планеты, ведет нас к правдоподобному суждению, что утверждение верно. И это то, что пишут всюду. Но далее он давал другой пример:

...Я думаю вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность. Он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой. Лучше осведомленный кот должен был бы делать минимальной не поверхность своего тела, а его теплопроводность или, что сводится к тому же, его электростатическую емкость. Однако в силу одной теоремы Пуанкаре эта другая задача на минимум имеет то же решение, шар. http://tlf.msk.ru/school/poja.htm#s185

Я слышал рассуждение про клубок сотни раз, но это соображение мне не приходило в голову. Кот решал другую оптимизационную задачу, ответом к которой тоже был шар! Шаром был и ответ к задаче об электростатической емкости.

Почему у всех этих задач ответом был шар?

Дальше начиналась мистика. Из всех форм барабана круг давал самый низкий тон. И это было не все

...Рассмотрим однородную пластинку постоянной толщины. Рассмотрим момент инерции этой пластинки относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через ее центр тяжести. Этот момент инерции, который мы назовем «полярным моментом инерции», зависит при прочих равных условиях от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьший полярный момент имеет круглая пластинка. Эта пластинка, если она является проводником электричества, может также вместить электрический заряд, пропорциональный ее электростатической емкости. Емкость также зависит от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьшую емкость имеет круглая пластинка. Пусть теперь область является поперечным сечением однородного упругого бруса. Если мы попытаемся закрутить такой брус вокруг его оси, то сможем заметить, что он сопротивляется скручиванию. Это сопротивление, или «жесткость на кручение» бруса зависит при прочих равных условиях от размера и формы поперечного сечения. Из всех поперечных сечений с данной площадью наибольшую «жесткость на кручение» имеет круглое поперечное сечение. Почему круг является решением такого большого числа таких различных задач на максимум и минимум? В чем «причина»? Не является ли «истинной причиной» «совершенная симметрия» круга? Такие туманные вопросы могут быть стимулирующими и плодотворными, если только вы не просто с удовольствием занимаетесь туманными разговорами и размышлениями, но серьезно пытаетесь спуститься к чему-нибудь более точному или более конкретному.

На этом поучение заканчивалось. Со всех сторон меня окружали круглые предметы, причины округлости которых могли сильно различаться, но это было неважно. Я не мог понять, почему. Правдоподобное рассуждение вело к откровенной чертовщине.

***

Годы спустя, я узнал, что был в хорошей компании. Гипотезу о емкости выдвинул Пуанкаре, но не смог доказать; на это ушло 30 лет. В 1945-м году Пойя придумал общий метод, как использовать штейнеровскую симметризацию, для решения ВСЕХ задач, которые он перечисляет. Итогом "правдоподобных рассуждений" были не три странички, а книга
https://books.google.com/books?id=z1jQCwAAQBAJ
в которой Пойя дает свой ответ на туманный вопрос. Ответ этот не прост и не тривиален.
Comments 
29th-Aug-2018 08:16 am (UTC)
Коты вполне осведомлены о проблемах с теплопроводностью и сворачиванию в клубок предпочитают заполнение емкостей любой формы из картона :)
29th-Aug-2018 10:15 am (UTC)
Вообще, это забавно. Другой пример функционала, где минимум дается сферой - это Willmore functional (интеграл от квадрата средней кривизны). Но если учесть высшие члены разложения по кривизне, решение не можте быть сферическим: https://epje.epj.org/articles/epje/abs/2010/07/10189_2010_Article_9487/10189_2010_Article_9487.html

И еще - вот прямо сегодня попалось в архиве (спасибо Вам, иначе мог бы гне обратить внимание и пропустить, а статья интересная): https://arxiv.org/abs/1808.09109 Комбинация минимальной емкости (ну, типа) и минимальной поверхности далеко не всегда приводит к сферичности.

Так что, обилие круглых предметов в пространстве всех разумных функционалов все равно выглядит странно. Впрочем, к счастью, не все решения в нашем мире сферические - кот, например, исходно не имеет форму сферы. Да и люди, как правило, тоже. Да что там люди - вирусы.

Есть, кстати сказать, вирусы - паразиты архей, живущих в горячих источниках в Японии. Они убивают свои жертвы, раскрывая семигранный (!) клин. Привет Стругацким с их семиугольной гайкой как единственным бесспорным инопланетным артефактом.

Так что, про равновесные формы есть о чем поговорить. Раньше обсуждал это дело с Алоизио Яннером, он очень понимал - но тогда, к сожалению, я ничего не понимал, не в коня корм был. Теперь я понимаю, а Алоизио уже нет.

И так всегда.
29th-Aug-2018 03:09 pm (UTC)
И мне это кажется странным. Ответ Пойя (доказательство может быть построено на одном трюке) меня не устраивает. Это блестящая математика, но она не говорит о том, почему в физических моделях типичны такие функционалы. И не только в физических. Мне кажется, в подходе Пойя есть немалые достоинства; "правдоподобные рассуждения" проходящие по всему корпусу наук.
29th-Aug-2018 04:17 pm (UTC)
На самом деле, как ни смешно, этот вопрос обсуждается в нашей последней PNASовской статье с Куниным (ссылку давать боюсь, опять спамером обзовут, но ее легко найти в моем ЖЖ среди последних записей, либо непосредственно на сайте журнала). Грубо говоря, если нет фрустраций (competing interactions), то все симметрично и бедно, а вот если они есть (а они есть всегда) - вот тут complexity и возникает.

Кстати сказать. Полимерные везикулы, вообще говоря, не сферические (см. нашу статью в EPJE по ссылке в пред. комменте), и атомные ядра, кроме магических - тоже (как правило или всегда - уже забыл, лет двадцать как с ядерщиками не общаюсь, а специально смотреть неохота, потому что какая разница; важно, что бывают несферические).
30th-Aug-2018 03:01 am (UTC)
"Спам" означает, что мне надо разрешить, чтобы комментарий был виден; он не пропадет.

К сожалению, я не могу прочесть EPJE (меня блокирует сайт), но даже обычные неионные мицеллы (вроде тех, что в мыле для посуды) экспериментально ведут себя так, как будто они эллиптические (при концентрации много меньше фазового перехода), хотя теоретики твердят, что это невозможно. Это давний предмет раздоров.
https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jp3012975
Есть статьи, где утверждают, что можно теоретически получить эллиптические мицеллы (довольно искусственным методом), но, по-моему, все остались при своих мнениях.
30th-Aug-2018 08:49 am (UTC)
Вот версия в архиве: https://arxiv.org/abs/1006.1292
Для обсуждения там важно вот что. Как тут (и в других местах) многие написали, если функционал симметричный, его минимум обязательно имеет сферически симметричное решение. Так вот, это неверно. Уиллморовский функционал (интеграл от квадрата средней кривизны H) симметричный и действительно имеет сферически симметричное решение. Однако, если добавить члены H^4, H^2 K, K^2 (K - гауссова кривизна) функционал остается симметричным, но сферически симметричных решений больше нет. Ясно, что, вообще говоря, у нас всегда ряд Тейлора по кривизне, так что, несферичность практически обязательна (работа конкретно про болаамфилические везикулы, что, как понимаю, более-менее экзотика, но и в общем случае, думаю, сферических решений не будет). И почему это отличается от емкости?
31st-Aug-2018 05:34 am (UTC)
Здорово!

Смущает только, что шарики сохраняют симметрию стартового многогранника в численном методе. Кажется, решение без форсированной симметрии должно напоминать мячик для гольфа. Если радиус примерно одинаковых сферических лунок/выступов r, то их число 1/r^2, а под интегралом для c1=1, c2=c3=0 стоит что-то вроде r^4-А*r^2, т.е. жидкость маленьких лунок/выступов вроде бы должны быть выгоднее (но r=0 запрещено уравнением 6). Если сохранять симметрию икосаэдра, невозможно сделать лунки одного размера при триангуляции, и самые большие (с которых начата процедура) будут визуально доминировать. Наверно, с этим связано то, что при больших А в таких решениях появляются узкие ребра. Но это детали: важно, что не шар.

Интересно, бывают ли такие штуковины в природе... Если это мячик для гольфа, покрытый жидкостью лунок/выступов, то он неустойчив, и динамически усредняется до шарика, хотя и не шарик.
31st-Aug-2018 05:47 am (UTC)
Что не шар, следует из аналитики: исключая вырожденный случай c1+c2+c3=0, уравнения Эйлера не удовлетворяются подстановкой H=1/R, K=1/R^2.
31st-Aug-2018 07:26 am (UTC)
Эллиптические мицеллы (про которые я помянул) хотя и не шар, усредняются до шара, если достаточно долго ждать. Наверно, икосаэдрические решения сравнительно легко переходят друг в друга псевдоротацией. М.б. поэтому их так трудно экспериментально реализовать и распознать.
29th-Aug-2018 11:37 am (UTC)
Напоминаю старую тему про форму домов, которая, очевидно, должна быть шарообразная по тем же причинам, но почему-то кроме некоторых "диких" племен... ;)
29th-Aug-2018 01:16 pm (UTC)
Дом это неестественный предмет. Все совершенное - сферично. Все остальное - нет. Все сферичное, созданное на земле, не вполне сферично, чтобы не соверноваться с совершеством
29th-Aug-2018 01:32 pm (UTC)
Раньше строили сферические или, по крайней мере, круглые. Именно момент, когда и почему решили "не соревноваться", интересен ;)
29th-Aug-2018 01:42 pm (UTC)
Ну, вообще-то, любая трехмерная симметрия неизбежно порождает сферу как одно из решений. А что, есть решения для несферического мыльного пузыря (приводящие к сфере)?
30th-Aug-2018 03:02 am (UTC)
Извините, я не понял вопрос.
This page was loaded Oct 22nd 2019, 9:45 pm GMT.