Category: дети

Category was added automatically. Read all entries about "дети".

thinking

Неразрешимый вопрос. 2

По-моему, уверенность в том, что Земля круглая (= примерно сферическая) подразумевает (1) понимание, как это можно показать и (2) понимание причин, по которым она круглая. Это понимание м.б. приблизительным, но если нет никакого (а это зачастую итог многолетнего образования), откуда может взяться уверенность? Я высказал это в комментарии, и меня спросили:

Оттого ли Земля круглая, что и капля воды в невесомости круглая?

Отличный вопрос, кстати.

Чем над неразумными детьми потешаться, не хочет ли кто-нибудь ответить?
thinking

Малыш и К.

У меня была годовщина класса, которую отметили в Латвии. По пути я провел пару дней в Стокгольме и день в Уппсале, где живет мой старинный приятель К. К. - ходячий интернационал. Анализ ДНК распознал в нем 1% самоеда, 20% шведа и 68% ашкенази. Я помню момент национального пробуждения К. (немало нас озадачившего, учитывая вышеозначенные проценты): каждую свободную минуту он с великим усердием разучивал труднопроизносимые слова по разговорнику, писанному для матросов балтийского флота, а его ответ на любой вопрос начинался "А вот в Швеции..." В конце 80-х К. перешел в лютеранство и уехал в любимую страну. Там он совершенно счастлив, чего и всем желаю.

***

В детстве у меня были две заветные книжки: Винни-Пух и Карлсон. Одноклассникам захотелось привезти сувенир; мы обошли весь Гамластан в тщетных поисках. Карлсонов не было нигде. К. объяснил, что в Швеции Карлсон - резко отрицательный персонаж (вроде русской Бабы-Яги), отрицающий шведские духовные ценности, а Пеппи Длинный Чулок - самое их воплощение.

Я спросил: где на шкале духовных ценностей находится фрекен Бок? К. ответил, что подобный вопрос может задать только Карлсон.

***

К. отвел нас в дом-музей и садик, в которых ставил опыты Линней. В доме я обнаружил, что сосед Линнея по улице - Цельсий - принял за нуль не температуру плавления льда, а точку кипения, и это Линней их переставил местами. Вряд ли шкала Цельсия без такой перестановки "пошла", т. к. мерять высокие температуры в отрицательных числах неудобно.

На стенах музея висели портреты Линнея и его любимых учеников ("апостолов")
https://en.wikipedia.org/wiki/Apostles_of_Linnaeus
Бросилось в глаза, что почти все они были кареглазыми. По описи 1935-го года, кареглазых шведов было только 5%. Я спросил К., отчего так; он говорит: потому что ботаники.

***

Еще один вопрос касался густых бород у шведских солдат, что я видел на параде у дворца. Борода придавала им свирепый нордический вид. К. убеждал, что это из-за сильных морозов. Мы возражали: в России тоже морозы, а солдаты ходят с босыми лицами. Все же, я думаю, К. прав. Вероятно, из-за полиэтничности России, противоморозные бороды не могут иметь единообразный вид (столь милый сердцу солдафонов всех стран), и потому приходится довольствоваться бритыми рожами.

***

К. раскрыл мне другую тайну: я давно заметил, что шведы делятся на белобрысых/голубоглазых и более темных, ближе к общеевропейскому стандарту. К. объяснил, что это потомки валлонцев, приглашенных в Швецию в конце 16-го века. До начала 20-го века почти все шахтеры и кузнецы в Швеции были бельгийского происхождения. Кстати, за три дня мне практически не попались на глаза недавние мигранты, о которых идет сыр-бор. К. говорит, они де факто сегрегированы. Я не думал, что настолько.

К. говорит, что ассимиляция католиков-валлонцев в шведы заняла 350+ лет.
thinking

Кто там шагает правой?

Родившись в СССР, я не встречал убежденного коммуниста/тку (так, чтоб обобществлять жен, детей и последнюю рубашку) до 18-ти годов. Были, были тогда еще сталинские соколы, но коммунистической в них была лишь фразеология, превратившаяся в мое время в нечленораздельное мычание. А тут с неба свалилась девица из будущего: аргентинская анархокоммуна отправила ее учиться в Москву на химфак. Училась она недолго (коммуна отозвала ее обратно), но за это время oнa успела карнально познать все общежитие и войти в легенды. Слово и дело у коммунистки не расходилось, и в лицемерии ее упрекнуть было нельзя.

Парадоксально, но при официальной коммунистической идеологии в СССР был дефицит коммунистов. Местный продукт так же походил на фирменный товар, как валенки на кроссовки. Легуиновские утопии про 250-летний анархический рейх казались наивными сказками: идейных коммунистов можно было найти только на загнивающем Западе, в джунглях и пампах, куда не дошла поступь пятилеток. Диалектика коммунизма в отдельных странах была такова, что камерады на этом свете долго не засиживались; их место занимали проверенные кадры ответственных товарищей, по форме и содержанию напоминавших тараканов.

***

В Англии с коммунистами в конце 80-ых дело было швах (хотя я еще застал последних троцкистов с маоистами), но левое движение не стоит на месте.

Освобождение угнетенных капиталом пролетариев сменила парадигма, которая имела широкий резонанс с сердобольной британской публикой: две ноги плохо, а четыре - хорошо. Воплощением тезиса занимался Фронт Освобождения Животных (АLF). Как водится, у внешнего движения имелась внутренняя боевая группа, непонятным образом друг с другом связанные.

Не проходило недели без акции.

Факультет был окружен лабораториями, где работали с животными. Самым чреватым было соседство с факультетом экспериментальной психологии, где ставили опыты с годовалыми шимпанзе и детьми. Боевики подложили бомбу в машину декана факультета, запаркованную рядом с детским автобусом. К этому времени они уже провели кампанию по рассылке бомб по почте, отравили крысиным ядом шоколадки в супермаркетах и т. п. Бомбу взрывать было не нужно: достаточно было намека. Периодически поступал анонимный звонок, что подложена бомба. Нас выгоняли на улицу, спецназ прочесывал здание. Это занимало несколько часов. Позже сирена звучала в соседнем здании. Не успокоились революционеры и через двадцать лет; все так же воюют с тем же факультетом
https://www.theguardian.com/uk/2005/jul/21/businessofresearch.animalwelfare
https://www.theguardian.com/education/2007/feb/01/highereducation.animalwelfare
но уже без прежнего задора.

Более всего запомнилась мне такая акция. Неподалеку был институт вирусологии, а при нем виварий и инсектарий. Революционер бросил гранату в окно вивария, чтоб трансгенные мыши бежали на свободу, но ошибся окном, и вместо мышей вылетели зараженные комары.

Тут даже камрады признали промашку... и напрасно. Не в этом ли акте вся квинтэссенция переустройства мира? Скандирующих о том, что четыре ноги лучше, чем две, никогда не посещает мысль о том, что по их собственной логике шесть ног - еще лучше, чем четыре.

На шестиногих я к тому времени насмотрелся по горло, но взглянуть на их личиночную (двуногую) стадию было познавательно.

Левой, левой, левой.
thinking

Удивительное рядом

Осенью читал
http://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/PT.3.3741
https://www.dropbox.com/s/xhgz4nonlaslgdi/grapes%202017.pdf?dl=0
про опыт с виноградинками в микроволновой печи:



thermal maps https://www.youtube.com/watch?v=AiQUrahrMsY

Авторы предлагают, что плазма возникает наиболее эффективно, когда диаметр виноградины равен длине волны, деленной на индекс преломления. Из статьи следует, что достаточно сферы, пропитанной соленой водой (они использовали стандартный суперабсорбер из подгузников).

Я не понимаю, как эта идея работает: если предположение верное, плазменные мостики в точках контакта между сантиметровыми кусочками еды д.б. обычным делом, но я их никогда не видел. Чертовщина какая-то...

В первой статье утверждают, что спорам о механизме явления 20+ лет.

PS: https://shkrobius.livejournal.com/640839.html?thread=12974663#t12974663
thinking

Стихи для детей

1.
Жизнь - ты наклонная доска,
По ней, качаясь и вздыхая,
Бредет подобие бычка,
С последним шагом упадая,
Чтоб плыть, кружася, налегке
Как танин мячик по реке,
И, кувыркаясь с горки,
Учиться на пятерки.

2.
Доска моя жизнь и сегодня, качаясь,
Иду я, вздыхая, в конце чтоб упасть,
Но бросила зайку хозяйка, и чаю
Я фату-моргану, лавиной валясь.

Мигая, моргая, матросскую шапку
Напялю, лягушек пугая в овсе,
И мишкину лапу схвачу я в охапку,
Плеща по площадкам, пришью ему все.

3.
Двадцать третие. Вечер. Сочельник.
Карандаш положу я в пенал.
Сочинил же какой-то бездельник
Что главою он ночью качал.

Как забуду? Он вышел, шатаясь,
По доске до обрыва прошел...
С горьким вздохом с бычком прощаясь,
Я сбежала к нему на пол.

Задыхаясь, я крикнула: "Шутка
Все что я написала, мой слон."
В темноте, спокойно и жутко
Он отвесил сухой поклон.

4.
Чтоб не видеть ее под ногтями грязцы,
Ни зеленых соплей, на ходу
Запихните меня, как в рукав, праотцы,
До которых сейчас упаду.

Уведи меня, ночь, от хозяйки моей
В дождь, где брошенный зайка живет,
Потому что бычок я по крови своей
И меня ничего не убьет.
thinking

Shithole countries

Нашел познавательную карту - плотность свободнооблегчающихся (aka open defecation):
https://www.nationalgeographic.com/magazine/2017/08/toilet-defecate-outdoors-stunting-sanitation/

Гаити (20 человек на акр) на третьем месте после Индии (44) и Сао Томео (30). Рядом - Того, Эритрея и Непал. По валу, разумеется, Индия с отрывом опережает остальной мир (570 миллионов), следом идут Нигерия с Индонезией, а за ними Пакистан с Эфиопией.

Оказывается, ООН собирает данные по испражнению в умопомрачительныx деталях
https://washdata.org/report/jmp-2017-report-ru-2 (приложение 4)
Узнал оттуда, что в Гаити облегчаются на полях 35% сельского населения, а в Индии 56%. С Нигером и Чадом не сравнить (> 80%). В городском забеге лидируют Сао Томео (43%), Эритрея (33%) и Бенин (28%).

***

Интересно, в какой степени эти сельские % определяются отсутствием удобрений. Там (в первой ссылке) построена корреляции детского недоедания с испражнениями, так Гаити на нем аномалия.

Не зря стараются!
thinking

Моль нолей

Сквозь эфир, десятично означенный
Свет размолотых в луч скоростей
Начинает число, опрозрачненный
Светлой болью и молью нолей.


Мандельштам жаловался, что не понимает своих "математических строф".

...О. М. называл это стихотворение “колбасой”, пробовал разбить его на несколько отдельных кусков или вообще выбросить. Раздраженный именно этим моментом в работе, он решил выбросить “математические строфы” (3-й раздел) и до конца не решил, возьмет ли он их в окончательный текст (От “Сквозь эфир...” до “От него будет свету светло...”). Но в то же время он сам удивлялся этой “вести”, которая летит “светопыльной дорогою” и от которой “будет свету светло”... Он говорил: “Тут какая-то чертовщина” и “Что-то я перегнул...”. Он решил отправить эти строфы “к пророку”, то есть выкинуть...
(Н. Я. Мандельштам)

Слушал лекцию Быкова, где он утверждает, что по его опыту дети лучше понимают Мандельштама, чем взрослые. Оттуда же узнал, что "моль нолей" - не 6х10^23 нолей подряд, как я всегда думал, а настоящая моль, которая шерсть кушает.

В подростковом возрасте мне действительно представлялось ясным, что там написано. Я прочел стих примерно в то же время, когда узнал про конструкцию Лиувилля
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
Берут десятичную дробь и последовательно разбавляют ее N! нулей после N-й цифры десятичного разложения - "молью нулей" - чтобы гарантированно получить "опрозраченное" - трансцендентное число.

Некоторое устройство (то ли звезды, то ли "океан без окна/души вещество" - т.е. монада, вырастающая из нашей общей гибели) превращает наше сообщение о битве в конце времен ("светлую боль") в трансцедентное число, которое тахионным лучом ("светом размолотых в луч скоростей") отправляется в прошлое, к началу времен
https://en.wikipedia.org/wiki/Tachyonic_antitelephone
становясь в нем тем светом, который "да будет свет" (т.е., "от которого свету светло"). Ведь впрямую говорится, что "за полем полей — поле новое // трехугольным летит журавлем": сообщение расширяет поле рациональных и алгебраических чисел имплементацией трансцендентного числа, физическая передача которого занимает вечность.

Решил посмотреть, что пишут гуманитарии. Оказывается, мое "детское" понимание ныне на переднем краю литературоведения
http://magazines.russ.ru/voplit/2000/6/makogon.html
а то и далеко за ним! Быков-то прав выходит...

***

A как нынешнее поколение "физиков" (+ математиков) понимают мандельштамовские "математические строфы"? Помогли б "лирикам", а то у них матчасть слабая.

PS. Кстати, 24!=6.2х10^23 близко к числу Авогадро, тогда как в названии "Стихи о Неизвестном Солдате" 24 буквы. Т.е. если передача по конструкции Лиувилля начинается с заглавия поэмы, то после него будет моль нулей.
thinking

Tomorrow never knows

Пролетая над Атлантикой в январе 1966-го года битл Джон принял из бумажного пакетика Lucy in the Sky with Diamonds: соединениe более известное как N,N-диэтиламид лизергиновой кислоты. С целью еще более решительного расширения сознания, битл Джон принялся за изучение заранее припасенной книги, озаглавленной The Psychedelic Experience: A Manual Based on the Tibetan Book of the Dead. Итогом расширения стала песня, названная автором Марк-1 и впоследствии несколько раз изменившая название. Битл Джон попросил звукорежиссера записать вокал так, как будто тысячи лам читают молитву с вершин Гималаев. Через четыре дня в доме Г. Л. Грауэрмана на Арбате родился младенец мужского пола, которого записали Ильей. Имя уже 200 лет передавалось в семье, и последним его владельцем был брат бабушки новорожденного. В детстве Илья Соломонович не мог выговорить "Илюша", и потому называл себя Люсей; так звали его все домашние. В 1947-м году дядя Люся получил Сталинскую премию 3-й степени за разработку искрового устройства "Алмаз" для ночной аэрофотосъемки. Когда младенец вырос, он стал мною.

***

В 1936-м году Иосиф Виссарионович Сталин сфотографировался с девочкой на руках. Черно-белая фотография была растиражирована под названиями "Сталин и Мамлакат" и "Спасибо товарищу Сталину за наше счастливое детство!" Девочку звали Энгельсиной, она была дочерью наркома земледелия Бурят-Монгольской автономной республики. Через год родителей Гели расстреляли, и она прошла через детские дома военной поры. В 90-х годах я познакомился с женщиной, которая жила с мужем на берегу океана в Лонг Бич; мои друзья жили в соседнем доме. Эта была одна из самых красивых женщин, которых я когда-либо встречал. Как оживало ее лицо, когда она говорила про тибетское иглоукалывание, которое практиковала. Как хороша была она, растопыренными пальцами показывая длину иголок, загоняемых в пациентов и описывая эффект на их самочувствие... Я так и не поддался ее чарам. Она была родственницей той самой Гели, но я уже не помню степень родства.

Фотография Сталина с псевдо-Мамлакат стала первым телевизионным изображением, переданным иконоскопом, собранным дядей Люсей на заводе "Светлана".

***

Как-то меня отпустили на полдня играть домой к приятелю. Мы сели мастерить железную дорогу. Вскоре зашла бабушка и спросила, не хотим ли мы чаю. Мы сказали, что не хотим и продолжили игру. Через 15 минут зашла бабушка и спросила, не хотим ли мы чаю. Мы сказали, что не хотим и продолжили игру. Через 15 минут зашла бабушка и спросила, не хотим ли мы чаю. Мы сказали, что не хотим и продолжили игру. Через 15 минут зашла бабушка и спросила, не хотим ли мы чаю. Мы сказали, что не хотим и продолжили игру... К концу второго часа я не выдержал. Приятель объяснил, что бабушка за 15 минут забывает ответ, но она твердо знает, что гостю надо предложить чаю. - Ты скоро перестанешь обращать на нее внимание. Я не мог. Я все время думал: сейчас придет бабушка и предложит чаю; казалось, я живу в заезженной пластинке. Когда я вернулся домой, бабушка спросила меня, хочу ли я чаю. Я обнял ее и заплакал.

Такая потеря памяти бывает и после сильного ртутного отравления.

***

Игла была поставлена на заезженную пластинку; мелодию переписали на магнитофонную ленту, которую копировали много раз, пока копия не оказалась у мальчика 15-ти лет; его отец был папин друг. Родители ушли трепаться на кухню; нас оставили одних. Было скучно. Наконец, он сказал, что даст мне послушать суперское: битлов. Я не знал, кто это такие. Из магнитофона "Яуза" полилась чудная мелодия, состоящая из единственного аккорда. Слов нельзя было разобрать, песня была похоже ни на что, слышанное раньше. Самый звук был странен. За ней следовали другие песни, но мне была интересна та, первая; я просил сыграть ее опять и опять, пока хозяин не выдержал и пообещал переписать пленку. Дома я ее прослушал, наверно, раз 50; все пытался понять, как такого звука можно добиться. Отец посоветовал поговорить с дядей Люсей.

***

В 30-ые годы дядя Люся был пионером телевидения в Ленинградском ФТИ (тогда он назывался Ленинградский индустриальный институт). Там, в 10х годах Зворыкин и Розинг изобрели "дальновидение". В 30-м дядя Люся был лаборантом ФТИ, а в 35-м двадцати пяти лет стал завлабом в Институте телемеханики. Институт откомандировал его на завод "Светлана", где дядя Люся изготовлял первые иконоскопы; их только недавно изобрели в Америке. Техника безопасности там была плохая; он сильно отравился ртутью и год провел в больнице. Несколько недель у него была потеря памяти, записанная в историю болезни. Дядя Люся никогда не оправился от отравления полностью, однако, за этот год пересажали и расстреляли практически всех, связанных с телевидением, кроме немногих переехавших в Москву. Он чудом спасся от смерти, перележав это время в больнице. Когда его потом что-либо спрашивали, он говорил, что ничего не помнит из-за острого отравления ртутью с потерей памяти и показывал выписку из истории болезни. Непосредственной причиной гевалта были визиты Зворыкина в начале 30-х годов (дядя Люся тоже с ним неоднократно беседовал). Ленинградское НКВД брало всех общавшихся со Зворыкиным под гребенку, но у московского НКВД были дела поинтереснее. Один из спасшихся от побоища срочным переездом в Москву предложил оклемавшемуся дяде Люсе место в Энергетическом институте, откуда в 45-м году он перешел в ФИАН.

***

Дядя Люся сказал, что звук изменен с помощью электромеханического устройства и предложил мне самому придумать его. Я не смог; он стал меня спрашивать и схватился за голову. Я не смог рассказать, как работает телевизор, радио, магнитофон, холодильник, пылесос, двигатель. Тогда он объявил, что будет меня учить. Сначала дядя Люся объяснял физические принципы, потом мы разбирали их на примере какого-нибудь обыденного агрегата. В конце занятий он предложил послушать песню еще раз и подумать, как достичь эффекта. К тому времени, у меня появился язык, на котором я мог сказать, что мне было нужно: определенное сочетание амплитудной и фазовой модуляции.

***

Первый электронный орган стал выпускаться в том же году, когда дядя Люся отравился ртутью, потеряв здоровье (но и спасши себе этим жизнь), чтобы отправить в мировой эфир изображение счастливого детства. Орган не мог играть тремоло и вибрато; тогда некий Дональд Лесли, придумал устройство, чтобы скомпенсировать недостаток
https://en.wikipedia.org/wiki/Leslie_speaker
Звук от динамика направлялся в пару вращающихся рупоров; сочетание амплитудной модуляции и эффекта Допплера создавали желаемый эффект. В студии, где записывали битлов, было такое устройство, и когда инженер услышал пожелания битла Джона, он предложил подсоединить микрофон к динамику Лесли. За тридцать лет никому не пришло в голову использовать устройство для вокала. Эффект превзошел все ожидания.

***

Сооружение, построенное с дядилюсиной помощью за зимние каникулы, состояло из картонного ящика и вращающегося внутри него лопастя, надетого на ось электромотора. В ящике я проделал дырку, в которую произносил речитатив. С другой стороны был приставлен микрофон. При определенной скорости вращения лопастя, мой голос звучал как будто молились тысячи лам с вершин Гималаев. Лишь тогда я понял, что мне нечего поведать миру через устройство.

***

Если бы не битл Джон, течение моей жизни, наверно, приняло другое направление. Первый раз я сам себе поставил физическую задачу, разобрался в ней и решил как умел. Так битлы и дядя Люся совместно расширили мое сознание.

Tomorrow never knows...

thinking

Вслепую

Каким методом я пользуюсь, нанося вслепую число N<М на отрезок от 1 до M? Я примерно отмечаю середину. Потом опять делю интервал надвое, и такой последовательной дихотомией прикидываю, где находится мое число.

Такой метод дает искомый результат, если я могу находить позиции середин и держать их в уме. Положим, существует "позиционная" функция Ф(х), определенная на интервале от нуля до единицы, которая дает вероятность того, что я приму х за середину интервала; эта позиция линейно меняется с длиной интервала. Тогда применениe алгоритма даст не точную позицию N, а распределение F(n|N) с n от 1 до M. Мат. ожидание этой случайной величины будет близко к N, a (относительная) дисперсия д.б. достаточно близка к дисперсии Ф(х), т.к. при длины отрезков быстро сокращаются. Я написал простенькую программу; при подстановке колокообразных "позиционных" функций Ф(х) получалось хи-квадрат образное распределение; его среднее было близко к N, a дисперсия лишь немного больше, чем у позиционной функции. Результат очевиден, т.к. иначе мы бы таким алгоритмом не пользовались - никто не может указать середину интервала абсолютно точно, но эта погрешность не растет с числом дихотомий.

Я подумал: утверждают, что дети наносят числа логарифмически. Может ли это быть из-за того, что их позиционная функция имеет какую-то другую форму, отличную от колокола, центрированного на 1/2? Mетодом проб и ошибок я подобрал функцию, которая дает очень близкое к логарифмическох шкале мат. ожидание (т.е. M log(N)/log(M)). Это

Ф(х)=exp{-[(x-y)/s]^4} x const [1]

с y=1 и s=1/2. Внизу показанa зависимость для M=128. Получается, что применение дихотомического алгоритма с "кривым глазом" может давать распределения, мало отличимые от логарифмических, учитывая статистический разброс. Кажется невозможным, что ребенок может настолько заблуждаться, где находится середина интервала. Однако, равно невозможным кажется и то, что число 10 отмечают на середине интервала от 1 до 100... Что более безумно, дело вкуса.

Мне не очевидно (и мой пример это показывает), что дети "чувствуют" числа логарифмически, как утверждают авторы исследований, т.е. что это не потенциально верный алгоритм, который дает сбой из-за несовершенства каких-то операций; постепенно глаз тренируется и начинает выдавать линейную шкалу. В моем примере достаточно в уравнении [1] плавно менять y от 1 до 1/2, чтобы перейти с "логарифмической" на линейную шкалу, нисколько не меняя сам алгоритм (см. график внизу).

Возможно ли концептуально отличить один случай от другого? Не думаю.

thinking

Треугольник в прямоугольнике

(из комментариев)

На мой взгляд, то что хочет от детей этот плаксивый учитель математики (провести высоту в треугольнике, чтобы убедиться, что он занимает половину прямоугольника) - плохое решение, именно потому, что не развивает геометрическую интуицию.

В комментариях справедливо заметили, что трюк не помогает для пирамиды в параллелипипеде. Несколько комментаторов признались, что получить 1/3 для пирамиды могут, только применив анализ. И все хором жалуются на пространственный кретинизм. Нет, это не пространственный кретинизм. Это закономерное следствие определенного метода преподавания геометрии.

Рассуждать можно так (пусть для простоты у нас будет квадрат и куб; это неважно). Поделим квадрат диагональю. Получаем два треугольника, которые делят смежную сторону - диагональ. Две другие стороны у них одинаковы, значит они конгруентны, и каждый треугольник занимает по площади 1/2 квадрата. Сдвинем вершину треугольника по стороне. Поделим треугольник на горизонтальные полоски, параллельные основанию. Каждая полоска делит треугольник на меньший треугольник, подобный большему; коэффициент подобия - функция высоты. Поэтому длины полосок во всех треугольниках не будут меняться от сдвига. По принципу Кавальери не изменится и площадь всего треугольника. Треугольник общего положения будет занимать 1/2 прямоугольника.

Таким же рассуждением можно решить объемную задачу. Режем куб на три одинаковых пирамиды с основаниями на сторонах, их объем - 1/3 куба. Тут нарисовано как резать
http://math.stackexchange.com/a/644
Почему пирамидки одинаковы? Потому, что у них все грани одинаковы: три по методу разреза, а четвертая принадлежит каждой из двух пирамидок. Двигаем вершину пирамиды по грани куба, режем на слои параллельно основанию - и применяем принцип Кавальери. Получаем, что пирамида всегда занимает 1/3 объема. Такие разрезы можно сделать и для n-мерного куба, получив n пирамидок, т.е. общий ответ 1/n. Одно и то же незамысловатое рассуждение годится для любой размерности пространства.

Такое решение выглядит более замысловато. Но вот какая штука: после него через 20-30 лет не надо сетовать на пространственный кретинизм и хвататься за анализ. Анализ проще, спору нет. Замечательно, когда кто-то позаботился о тебе и изготовил пушку, из которой можно стрелять по воробьям; для сложных задач, однако, этой пушки уже не будет, поэтому стоит с самого начала обходиться без пушек. Если для простейшей стереометрической задачи приходится бросать геометрию и вести рассуждение в других представлениях - это признак того, что у человека с раннего возраста систематически сбивалась интуиция. Начинается это с малого: "учимся, играя" решений, которые на деле ничему не учат.

***

Почему кажется, что треугольник занимает именно 2/3, я не знаю, но то, что это будет число > 1/2 ожидаемо и, более того, верно.

Мы видим прямоугольник в перспективе - как трапецию. Делим трапецию диагональю. Нижний треугольник больше по площади верхнего, значит, так же будет для любого треугольника. С другой стороны: проведем из вершины треугольника линии, параллельные боковым сторонам. Внутренние треугольнички, образованные этими прямыми, будут равны внешним; в середине клин. На него-то треугольник и больше половины.

Если я начерчу такой чертеж и покажу вам, он подскажет глазу, что это действительно трапеция, а не перспективное изображение прямоугольника. Если я начерчу одну высоту, это будет восприниматься как сигнал, что передо мною перспективное изображение прямоугольника на какой-то плоскости; сознание послушно "доворачивает" картинку в эту плоскость. Концептуальная сложность задачи - в переходе от перспективного рисунка (как я вижу чертеж) к воображаемой плоскости, в которой четырехугольник - прямоугольник; только в ней треугольник займет ровно 1/2 площади. Проведение высоты - не столько развитие геометрической интуиции, сколько ее убийство; своего рода трюк.