Tags: complaints

thinking

Довели

Приснилось утром, что читаю в жж дискуссию: можно ли "научным методом" (randomized double-blind trials) доказать пользу преподавания геометрии в среднеобразовательной школе.
thinking

Радикальное

Борьба за равенство. Радикальное решение проблем, выдвигаемое полюсами политического спектра, придерживающиxся экстремистских взглядов. ---

Ведь это все из алгебры, функционального анализа, ТФКП. Как так получилось, что политический язык насыщен математической терминологией? Например - пишет этимологический словарь

radical (n.) 1630с, root part of a word, from radical (adj.) Political sense from 1802; late 14c., in a medieval philosophical sense, from Late Latin radicalis "of or having roots," from Latin radix (genitive radicis) "root". Meaning "going to the origin, essential" is from 1650s. Radical sign in mathematics is from 1680s. Political sense of "reformist" (via notion of "change from the roots") is first recorded 1802 (n.), 1817 (adj.), of the extreme section of the British Liberal party (radical reform had been a current phrase since 1786); radically (adv.) c.1600, "thoroughly;" 1620s with reference to roots and origins, from radical (adj.) + -ly (2). radicalism (n.) 1819 in the political sense, from radical (adj.) + -ism. radicality (n.)

Столетиями не существовало логической связи между корнями и решениями чего бы тo ни было. В 820-м году Аль-Хорезми ("алгоритм") написал пособие по алгебре, в котором несколько раз назвал неизвестное решение "корнем"; в остальной части текста, предвосхитив на 1150 лет Дринфельда,
http://en.wikipedia.org/wiki/Drinfeld_module#Shtukas
это решение называлось "штука". Однако, штука тогда не пошла, корень же через 200 лет покорил европейское воображение. Судьбе было угодно, чтобы этот мирный узбек стал основателем радикализма, который, сложись жизнь иначе, мог бы быть штукизмом.

Название странно тем, что обосновательная часть в книге геометрическая ("х^2+bx=c: возьмем квадрат х*х, пристроим к нему с двух сторон прямоугольники b*x/2, достроим квадрат и т. д."); пресловутый "корень" соответствал стороне квадрата. Утверждают, что Аль-Хорезми представлял х^n как "дерево", растущее из "корня" путем последовательного возведения в степень. Однако, корнем он называл и решения линейных уравнений, что такой интерпретации не поддается.

К моменту появления "радикала" была проведена совсем чудная словесная граница - между корнями и радикалами, которые те же корни на латыни. Найти корень в радикалах ("радикальное решение проблемы") - масло масляное; неудивительно, что это потребовало 800 лет и переход на местные языки. Картинка совсем другая: не числа, а полиномы (х-х1)*(х-х2)..., растущие из корней х1, х2,..., а те - из истинных корней-радикалов. Политический радикализм возникает в момент, когда (а) Гаусс уже доказывает фундаментальную теорему алгебры, но (б) еще жива надежда, что эти корни можно выразить в радикалах или ультрарадикалах. В 1826-м году Абель показывает, что общего радикального решения не существует; к этому моменту полностью заканчивается радикальное словотворчество. В 1832-м году политический радикал Галуа топчет ногами последнюю надежду на решение полиномов в хитрых радикалах, его работу публикуют в 1846-м году и на свет тут же появляется

extremism (n.) 1848, from extreme + -ism.

Политический радикализм математичен: политическая задача = задача на извлечение корней. Нашли, выкорчевали: проблема решена. То, что живое дерево при этом спилили - а что ж тут сделаешь. Корень без этого не вытащишь, а корень - это наше все. В основе радикализма заложена вера в то, что (а) такие корни есть и их конечное число и (б) задача полностью определяется через эти корни, т.е. фундаментальная теорема алгебры. Деревья неважны - были бы корни, а деревья сами вырастут. Но одной такой веры недостаточно: нужна дополнительная вера в существование алгоритма нахождения и извлечения этих корней; радикализм - опечаток короткого момента истории, когда обе веры мирно сосуществовали.

А вы, ребята, выдумывайте когомологии и гомоморфизмы.

Лет через двести будете жить при них.

thinking

Ваше слово, товарищ маузер

Дебаты окончены.

Это цитата. О. такую моду завел - в одностороннем порядке провозглашать прекращение дебатов. Не видит необходимости в разговорах. Дело надо делать, дело. Чего обсуждать-то? Поговорили - и хватит. Пока у нас, правда, ограничиваются обливанием помоями в газетах, прослушиванием телефонов и пристальным изучением налоговых деклараций. В иных местах окончание дебатов перешло на более продвинутый уровень: смазывают маслом калаши, заводят БТРы, пишут про черную сперму фашизма. У меня нет чувства, что у нас до этого тоже не дойдет; слишком много развелось желающих закончить дебаты.

И ведь это все питомцы нового времени, провозгласившего, что дебаты не бывают окончены никогда, и никто не имеет авторитета затыкать несогласным рот. Или все же имеет? Когда случилось в первый раз, что нововозникшая просвещенная мысль демонстративно отказалась вести дебаты?

Да практически сразу и произошло: в 1775-м году французская академия наук отказалась рассматривать квадратуру круга, удвоение куба и трисекцию угла - за 100 и 60 лет до доказательств невозможности таких построений. Ныне утверждают, что, дескать, были, были у них веские соображения
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x/pdf
Признаться, ничего веского в этих умозаключениях и утверждениях без доказательств я не вижу. Главное ведь, доказательства можно объяснить толковому школьнику за час; ничто не мешало довести их до ума веком, а то и двумя, раньше, заодно открыв теорию Галуа.

Тут поразителен не столько отказ от рассмотрения доказательств без отсутствия на то логических обоснований, сколько отказ от признания даже того, что нечто полезное может возникнуть в ходе таких рассмотрений. Или, напротив, плохое - не возникнуть. Маркиз Кондорсе сокрушался, что бесплодные занятия отвлекают заблудших от общественно-полезной деятельности, приводят к пустой трате средств. Прекраснодушный маркиз на своей шкуре ознакомился с конечным результатом желанной им интеллектуальной деятельности, когда она приняла максимально полезный для общества оборот; не будем его строго судить. Однако, если бы энергия благодетелей человечества была потрачена на удвоение куба, то ему не пришлось бы травиться ядом в тюрьме.

Автор утверждает, что число оквадратуривающих круг действительно несколько уменьшилось со временем, но просвещение тут побоку:

...The hope was that this step ... would dissuade amateur mathematicians from wasting their time solving the problems. It is well known that effort did not work. Circle squarers continued their futile work for centuries. Still at least in Denmark the last decades have experienced a great decline in the number of circle squarers who address their purported solutions to the universities. Is this a delayed result of the enlightenment that Condorcet and his fellow philosophers opted for? I am afraid not. Without having made a statistical investigation I am convinced that the diminished interest in the classical problems is not due to more knowledge about the problems. On the contrary it seems rather to be the result of ignorance. Fewer children learn a sufficient amount of geometry in school to ever encounter the problems, and thus they are not tempted to try to solve them. http://lematec.net/CDS/XIIICIAEM/artigos/CP-lutzen.pdf

Вот, где истинная мудрость: как надо заканчивать дебаты.
thinking

Число е

Для числа пи есть красивая статистическая задача (Бюффонова игла), которая своим ответом дает 2/пи
http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Для числа е я такой задачи не знаю. Т.е. придумать ее несложно. Например, такая.

Выбираем на отрезке от 0 до 1 равномерно распределенное число х1. Затем выбираем х2. Если х2>х1, серия испытаний закончена, если нет, выбираем новое число х3. Если х3<х2 продолжаем испытания, нет - заканчиваем, и так далее. Каково математическое ожидание числа испытаний в серии? Легко показать, что это (е-1).

Однако, это жульничество: я подобрал последовательность испытаний, такую, чтобы вероятности образовывали 1/n! Понятно, что всегда можно придумать некоторое испытание под любой подобный ряд. Это не интересно.

А без этого можно? Чтобы e получилось "естественным" образом, как у Бюффона.
thinking

Образовательная воронка

Вдогонку к экспоненциальной горе:

заметил, что все больше становится вокруг т.н. "гиперболических воронок", засасывающих родительские монетки. Воронки-де учат малых детей орбитальному движению планет
http://www.funnelworks.com/science.html
Как я понял из объяснения, "гиперболизм" воронки изображает гравитационный потенциал. Предлагается сравнить поведение монеток разного веса, чтоб юные натуралисты выжимали из родителей не только центы, но и даймы с квотерами. А нечего жадничать: познание Природы требует жертв.

Между тем, нетрудно показать, что для шарика, катящегося по произвольной поверхности вращения некруговая траектория всегда некеплерова. См. стр. 997
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43807687/rolling_marbles_on_a_funnel.pdf
Как монетку ни брось, планетарного движения не будет даже при отсутствии трения. Чистое разводилово, выражаясь по-современному.

Вспомнил, что в детстве читал книжку Сибрука о Роберте Вуде, где упоминалась интересная демонстрация орбитального движения с помощью электромагнита:
http://www.nature.com/nature/journal/v55/n1435/abs/055620a0.html
Lecture-room Demonstration of Orbits of Bodies Under the Action of a Central Attraction, Phys. Rev. (Series I) 4, 413 (1897).
The Orbital Motion of a Steel Ball Around a Magnetic Pole, Phys. Rev. (Series I) 7, 119 (1898).

...The apparatus used was very simple, consisting of a circular glass plate about 40 cm in diameter, with a small hole in the center through which projected the somewhat conical pole piece of a large electromagnet. The surface of the plate was smoked, and it was made level as nearly as possible, the axis of the magnet being of course vertical. A small, highly polished ball of steel about 5 mm in diameter, when projected across the plate, traced its path in the soot and left a permanent record of its motion.

Подобрав правильно плоскость, можно достаточно точно получить 1/r потенциал; отклонения возникают из-за трения. Если охота сделать симулятор орбитального движение, почему бы не использовать эту демонстрацию? Если необходимо, чтобы публика раскошеливалась, можно брать за ток для электромагнита. Так хоть кеплерово движение за свои деньги получат.

Я, кстати, далек от отрицания педагогического эффекта ненасытной воронки. Однако, она иллюстрирует правду жизни, к физике отношение не имеющую. (И не надо про черные дыры. Черные дыры селективно денежки не засасывают.)

thinking

Лучше гор могут быть только горы, на которых никто не бывал

Подарили книжку математика Манина; в ней нашел ссылку на забытую статью Вайскопфа
https://cds.cern.ch/record/274976/files/CERN-70-08.pdf
в которой он показывает, как оценить максимально возможную высоту гор, исходя из фундаментальных констант. Там быстрый вывод ограничения при заданном размере планеты (30 км для земли), потом - максимального размера планет. Вайскопф гл. образом оценивает прочность на сдвиг Y для камня, что можно не оценивать, а взять из справочника.

Ограничение, однако, выведено для горы постоянного сечения. Горы же конусообразны - неужели нельзя выше? Подумал - наверняка давно просчитано. И точно - http://www.ias.ac.in/jarch/jaa/2/165-169.pdf
Для горы прямоугольного профиля критическая высота h=4Y/ro*g, где ro и g плотность и постоянная тяготения. Оказывается, даже коническая гора не может быть выше 3*pi/4 h. В конце - дополнение (я опустил формулы):

...While we have shown that one cannot build mountains much higher than h by placing a homogeneous rock on a broad base, Dr. P. Young (personal communication) has shown that one can, in principle, build mountains of arbitrary height by making them steep enough. Young’s mountain has a smooth exponential profile. The essence of the process is to pile mountains, each of height ~ h, on one another with the bases diminishing in geometric progression so that the total weight above each level is less than Υ times the cross-section at that level ). While such mountains are in equilibrium, the equilibrium becomes unstable if they are too slender to fulfil the Euler condition for the stability of a strut... А stable mountain taller than its base cannot be taller than h. For real solids, the maximum height of a stable steep mountain is then roughly 5h. While the Euler condition is valid only for long thin struts, the above result should give the correct order of magnitude. Taking the [typical values], we obtain h = 2250 m for terrestrial mountains, 14000 m for lunar mountains, and 6000 m for Martian mountains. The highest mountains on earth, reach ~ 4h; since isostasy is known to occur in the earth’s crust, this is hardly surprising. In making these comparisons we make no pretensions to serious geophysics; we merely wish to show that the simple considerations presented here lead to sensible orders of magnitude.

Легко видеть, что оптимальный профиль горы должен быть экспоненциальным: всегда можно отрезать кончик и поставить его на землю, т.е. этот кусочек тоже д.б. оптимальным - кривая самоподобна. Совсем тонкий шпиль неустойчив на изгиб - это тоже ясно. В статье приводится лишь приблизительная оценка устойчивости горы такой формы, которая меня, признаться, не убеждает; утверждается, что отношение высот задается ln(E/Y), где E - модуль Юнга. Оценка в 2.25 км кажется заниженной, но наши горы плавают на подушках в мантии, а не "стоят" на коре.

Интересно, насколько же высоко можно реально выстроить экспоненциальную гору? Эверест, Эверест... Думаю, взявшись за дело с головой, можно запросто увеличить высоту в 2-3 раза.
thinking

Горизонты науки и техники

Будем оптимистами - такими темпами, которыми сегодня развивается нано, вероятно, уже через 100-150 лет можно будет узнать, как работала черно-белая фотография, основанная на эмульсии кристалликов галида серебра.

Последний прорыв в этой области был на моей памяти - в середине 1980х, когда была экспериментально установлена структура латентного изображения (что это должен быть как минимум Ag4 кластер). Пожалуй, сюда можно добавить цикл работ по установлению структуры захваченных дырок в середине 1990х. Но ни как (и даже где) образуются атомные кластеры, ни как (в деталях, на микроуровне) идет проявление (т.е. каталитическая реакция на этих кластерах) не известно по сей день.

Черно-белая фотография была изобретена, стала повседневностью, и исчезла, а физика и химия того, как она работала так и остались в потемках; там больше догадок, чем установленных фактов. Даже самые приблизительные соображения, как фотография могла бы работать, возникли лишь в 1925-м году, через 85 лет после изобретения. Первое детальное объяснение предложили Мотт и Зейтц в середине 1930х; однако, в конце 1950х было показано, что предложенный ими механизм неверен в деталях. Модифицированный механизм опровергли в 1970х. Но и более новые теории начали расползаться в начале 1990х, после чего исследования были заброшены за отсутствием интереса. Кто и когда теперь этим займется...

В работе цифровой камеры нет ничего загадочного и непонятного; неинтересно. Тоже мне прогресс: от изящных атомных манипуляций на наноуровне к обычной микроэлектронике.

thinking

Математика и жизнь

В детстве была любимая книга - "Математический калейдоскоп" Гуго Штейнгауза.

Одна из его мыслей и по сей день не дает мне покоя: размеры ботинок. Обувной завод может произвести только определенное количество размеров, скажем, N, который покрывает весь континуум за вычетом ничтожного числа "ненормально" редких ног. Стопа примерно прямоугольна, т.е. размер - это точка Х на плоскости. Классифицирующая система должна разбить плоскость на N областей с выбранной в каждой области точкой так, чтобы эта точка оказалась как можно ближе к Х. Легко показать, что шестиугольное заполнение плоскости самое лучшее, и оно дает 7% выигрыш по сравнению с квадратным.

Несмотря на это положение, все обувные размеры (будь то национальный или международный стандарт, aka Мondopoint) основаны на прямоугольной решетке. Каждый раз, что натирают ботинки, я это вспоминаю.

Доколе? Хватит, наконец!
thinking

Излишние сущности. 2

Мне столько раз повторяли, особенно в последние недели, что сущности не могут превышать необходимости, что (если бы я точно не знал, что имею дело с рациональными существами, у которых не может быть предрассудков) мог бы подумать, что на мне применяют магические заклинания.

В юности я как-то попытался применить этот принцип на деле, выбрав из двух объяснений (на мой взгляд) простейшее и гордо об этом заявив в статье, ожидая похвалы за соломонову мудрость. Рецензент справедливо заметил, что искусство ученого заключается в придумывании методов разрешения подобных ситуаций. Более бритвою Оккама я не пользовался и другим не советую.

Если заранее известно, что истинная теория - простейшая, то такой общий принцип не нужен. Если это неизвестно, то отсутствует рациональное основание для его применения. Каково, собственно, научное основание этого принципа?

Немного подумав, я сообразил, что люди, для которых подобные вопросы должны быть более, чем схоластикой - те, кто занимается машинным обучением. Если количество известной информации фиксировано: заведомо ли эвристическая модель с 110 параметрами лучше, чем модель с 111 параметрами? А если не фиксировано: всегда ли лучше, скажем, два параметра, чем три? Ясно, что если все время появляются новые данные, три параметра обеспечивают большую гибкость, и оптимизация/обучение по двум - потеря времени. Лучше иметь запас параметров для более точного предсказания, но не такой большой, чтобы "предсказать" можно было все, что угодно. Это можно показать формально. Оптимальное обучение не подчиняется бритве Оккама.
http://www.svms.org/srm/
http://www.andrew.cmu.edu/org/cfe/ockam-foundations.html (Вапник)

Оказалось, что логическое основание принципа Оккама - целый проект в Карнеги-Меллон
http://www.andrew.cmu.edu/user/kk3n/ockham/Ockham.htm
и единственное соображение, по их словам, которое не тавтологично или неверно, примерно такое: можно так определить эмпирическую простоту и сходимость к истинной модели, что применение принципа Оккама гарантирует наиболее эффективную стратегию сходимости.

На сайте есть объяснение для "дураков"
http://www.hss.cmu.edu/philosophy/kelly/papers/bonnfinal.pdf
Все "обоснования", про которые вы когда-либо слышали, критикуются и отвергаются в первых четырех главах.

Более формальное изложение (которе было куда легче разобрать) дано в
http://www.fitelson.org/few/few_07/kelly.pdf

Вывод таков: принцип не дает никакой гарантии, что выбираемая теория верна или даже верна с более высокой вероятностью. Не указывает он и направления к истинности. Не уменьшает количество радикальных пересмотров по мере накопления новых данных.

...All it does is save you the trouble of needless surprises beyond those arbitrarily many surprises nature is objectively in position to exact from you.

Келли меня убедил, что принцип может быть полезен, пусть в таком очень слабом виде. Но даже для этого требуется точное выполнение всех условий, предложенных Келли.

Короче, если я еще раз услышу про излишние сущности, то выбор таков: либо мне формально-логически доказывают, что данный случай полностью удовлетворяет всем условиям Ockham efficiency theorem, либо это последний Ваш комментарий в моем журнале.

Хотите учить меня научному подходу к естествознанию - я это только приветствую.